气动设计的多目标优化算法比较研究

王荣伟，高正红

(西北工业大学航空学院，陕西西安 710072)

0 前言

随着计算机技术和计算流体力学(Computational Fluid Dynamics，CFD)的迅速发展，使得借助数值方法进行飞机的优化设计成为可能。传统的单目标设计已经不能满足对性能的要求，气动多目标优化设计［1］概念被提出。飞机的气动多目标优化设计中目标函数(气动计算)涉及流场分离等物理现象是一个非线性多峰值的复杂问题，且在优化过程中需要大量的调用气动计算模块求解耗时，为缩短优化时间提高优化效果，应选择收敛速度快调用目标次数少的优化算法，现有研究对气动问题中的优化算法的选择分析较少，因此如何合理选择搜索能力高的全局优化算法成为本文研究的一个重要方面。本文针对气动多目标优化设计中优化方法的选择做了以下几点研究:

(1)针对现有常用的多目标优化算法，进行了性能测试，分析了各种算法的搜索能力及适用性。

(2)针对气动多目标优化问题的特性，选择适用的多目标优化设计方法，通过翼型多目标优化设计问题，验证方法的可行性以及进一步需要解决和发展的问题。

1 多目标优化的数学描述

1.1 多目标优化概念

最优化目标如下［2］:

这里x表示决策向量，y表示目标向量，X表示决策向量形成的决策空间，Y是目标向量形成的目标空间，约束e(x)≤0确定了可行解。

1.2 多目标优化处理方法

(1)基于Pareto解的多目标优化

Pareto优胜关系:

对于任意两个决策向量a和b，

a≻b(a优于b):当且仅当f(a)＞f(b)(决策向量a对应的若干目标适应值均优于决策向量b);

a≥b(a弱优于b):当且仅当f(a)≥f(b)(决策向量a对应的若干目标适应值均等于或优于决策向量b);

a～b(a无差别于b):当且仅当f(a)与f(b)无法比较。

·多目标遗传算法(MOGA和MOGAII)

·非劣分类遗传算法(NSGA和NSGAII)

·强度Pareto进化算法(SPEA)

·基于EPSION支配关系的MOGA算法(下面简称EPS)

(2)新型算法

·粒子群算法

1.3 基于Pareto解的多目标进化算法关键理论

适应度分配，选择机制，多样性保持是多目标优化算法的关键理论，算法优化的最终目的是为多，快，好的寻找到最优解，因此判断多目标优化算法的性能应该从三方面分析:即算法的收敛性及收敛速度，解的多样性，解的均匀性。

2 典型多目标搜索算法评估分析

传统的基于Pareto的搜索算法像遗传算法，进化规则，进化策略等都是模拟自然界遗传和进化过程，仿效基因，染色体等物质表达方式，遵循达尔文“物竞天择，适者生存”的选择机理，使随机生成的初始解通过选择复制，交叉和变异等遗传操作不断得到迭代进化，并逐步逼近最优解。不同的是遗传算法交叉为主，进化规则无交叉，进化策略变异为主。

2.1 多目标遗传算法(MOGAII)［3］

MOGAII算法首先根据个体的非劣关系进行排序，然后按通常的线性插值的方法指派适应度，对等级相同的个体，平均它们的适应度，以使它们以相同的概率被选择。采用共享函数与小生境技术来提高种群的多样性，通过非劣最优域的大小与种群规模来确定共享半径或小生境参数。

2.2 非劣分类遗传算法(NSGAII)［4］

NSGAII基于对多目标解群体进行逐层分类，按解个体的非劣关系进行排序。在对个体进行排序之后，找到的非劣解点被赋予了一个假设适应度值，他们作为第一批非劣前端，根据假设适应度值进行复制。算法采用基于决策向量的共享函数法来保持种群的多样性。根据产生的各种非劣前端，采用更好的记账策略，从而减少了算法运行的整体时间。

2.3 强度Pareto进化算法(The Strength Pareto Evolutionary Algorithm，SPEA)［5］

SPEA算法个体的适应值由外部种群中优于该个体的数目决定，根据适应值进行排序。采用基于目标向量的小生境技术保持种群多样性。增加了一个附属的外部种群，用于存储找到的所有非劣解，使用聚类技术保证外部种群的规模不超过规定大小，外部种群的所有个体参与选择。

2.4 基于EPSION支配关系的MOGA算法(下面简称 EPS)［6］

基于EPSILON支配方法的MOEA算法，仅在个体的适应值分配上与原始的MOGA算法有区别，表现在先比较新个体与存档个体的目标向量值，若优则替换存档个体，否则比较目标值，如无法比较再比较个体目标值距目标向量值之间的距离。该算法引入一定的偏好信息，能更好得保存下用户需要的非支配解。但算法很大程度上依赖支配关系的选择，并不能找到完全的Pareto前缘解。

2.5 粒子群优化算法［7］

粒子群算法(PSO)是一种新兴的群智优化算法，源于对鸟群捕食的行为研究。系统初始化为一组随机解，通过迭代搜寻最优值，并没有遗传算法用到的交叉以及变异操作算子，而是粒子在解空间追随最优粒子进行搜索。在该算法中，群体中的每个个体都能根据当前状态和所获得的信息，调整自己的下一步行为，从而使整个群体表现出一定的智能性。

表1 测试函数Table 1 Multi-objective test functions

3 算法函数测试

为了验证各算法针对不同函数优化的稳定性和快速性，本文中主要进行了以下函数［8］的测试。以下方法的群体规模均为100。

函数1是一个简单分段连续函数，常用的优化算法都能快速的寻找到Pareto前缘，为比较各算法解的多样性及均匀性，本文设置算法最大迭代代数20代(调用目标求解次数2000次)，得到的Pareto前端如图1。

测试结果及收敛结果分析如表2。

函数2是一个非凸非连续函数目标计算复杂，函数求解耗时，为比较各算法的收敛速度及稳定性，设定最大迭代次数为1000代，算法基本收敛后结果如图2，分析见表3。

由表3可知，处理连续函数问题算法 MOGAII、MOPSO、NSGAII都有不错的收敛速度及稳定性。处理非凸非连续函数，各算法搜索效率有一定的差别，MOPSO和NSGAII算法收敛速度及稳定较其他方法有较大的提高。

气动优化问题是一个非线性不连续的多峰值问题，且函数求解困难耗时，因此需要搜索能力高收敛速度快且全局性好的优化方法，从以上算例分析，MOPSO算法搜索能力较高，调用目标次数较少，且解的多样性及均匀性均优于其他算法，为验证算法的适用性，进行了翼型的多目标优化设计。

图1 (a) 函数1真实前缘Fig.1 (a)True Pareto of test 1

图1 (b) 不同算法计算结果Fig.1 (b)The result of different algorithms

表2 函数1算法计算结果分析Table 2 The result of test 1

图2 (a) 函数2真实前缘Fig.2 (a)True Pareto of test 2

图2 (b)EPS算法Fig.2 (b)The result of EPS

图2 (c)MOGAII算法Fig.2 (c)The result of MOGAII

图2 (d)MOPSO算法Fig.2 (d)The result of MOPSO

图2 (e)NSGAII算法Fig.2 (e)The result of NSGAII

图2 (f)SPEA算法Fig.2 (f)The result of SPEA

表3 函数2算法计算结果分析Table 3 The result of test 2

4 翼型气动优化

以某翼型为例，以降低翼型在设计状态下的阻力和减小低头力矩为目标约束升力和最大厚度，进行了翼型几何外形的优化设计。

本文的气动力分析部分采用N-S方程作为流动控制方程，湍流模型选用S-A湍流模型，网格数为321×65。

设计状态为:马赫数为 0.73，巡航攻角为 2.07°，雷诺数为22×106。

采用目标函数和约束条件的数学描述分别为:目标函数:Min:f1(X)=Cd

4.1 Pareto最优解集

群体规模80，最大进化代数70，得到的Pareto前缘如图3(ORI表示初始外形)。

图3 Pareto前缘及任意取点Fig.3 The Pareto and arbitrary points

图3为采用多目标粒子群算法得到的Pareto前缘。图3中，横坐标表示阻力，纵坐标表示低头力矩。由图可见，算法得到的Pareto解的个数较多，解的分布也较均匀，但存在局部不连续解。

4.2 优化结果比较

从最优解集中任取解A和B(如图3所示)进行分析。

图4、图5及表4分别比较了优化设计前后的翼型几何外型、压力分布和设计点处的阻力和低头力矩。可见优化设计出的新翼型A在设计点有效的减小了激波，降低了阻力减小了低头力矩。但是求得的Pareto解有部分解比原始的翼型在某一目标上较差，此次优化共调用目标求解4880次，可见，算法在计算气动多目标优化问题上有一定的效果，但针对大型的气动优化问题，还应从收敛速度上对算法进行进一步的分析。

图4 翼型几何外形比较Fig.4 The shape of different aerofoil

图5 翼型压力分布比较Fig.5 Pressure coefficient distribution over aerofoil

表4 设计点处的气动载荷比较Table 4 Aerodynamic performances at desing point

5 结论

文中将优化方法中常用算法进行了比较，针对不同问题进行了函数测试，找出适合气动多目标优化设计的优化算法。结果表明，新型算法多目标粒子群算法计算效率较高，对多峰值问题的处理结果较好应用于翼型的气动多目标优化设计得到的结果较好。

［1］吁日新.多目标/多学科优化方法的研究［D］.［硕士学位论文］.北京航空航天大学，2002.

［2］岳超源.决策理论与方法［M］.北京:科学出版社，2006.

［3］安伟刚.多目标优化方法研究及其工程应用［D］.［博士学位论文］.西北工业大学，2005.

［4］PRATAP A，DEB k.A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization［R］.NSGA II.Kan-GAL report 200001，Parallel Problem Solving from Nature(PPSN VI)，Berlin，2000.

［5］徐磊.基于遗传算法的多目标优化问题的研究与应用［D］.［硕士学位论文］.中南大学，2007.

［6］http://delta.es.cinvestav.mx ～ ccoello/EMOO/MOOsoftware.html.

［7］KENNEDY J，EBERHART R C.Particle swarm optimization［A］.presented at Proceedings of IEEE International Conference on neural networks［C］.Perth，Australia，1995.

［8］JORN M.A library of multi-objective functions with corresponding graphs［M］.Germany，June 2006.