用于骨科手术机器人的电磁定位方法*

师晓宙，胡 超 ，向望华，宋 霜，王小静

(1.天津大学精密仪器与光电子工程学院，天津 300072; 2.教育部光电信息技术科学重点实验室，天津 300072; 3.中科院先进技术研究院，广东 深圳 518055)

随着科学技术的发展，计算机辅助骨科手术(Computer Assisted Orthopaedic Surgery)已经成为新的研究和应用的热点［1］。依靠计算机的辅助，骨科手术变得更加精确、安全，同时由于机器人的应用，使得很多医生难以完成的操作得以顺利实施。辅助机器人对手术器械运动的精度要求非常严格，因此系统必须要有精确的定位。在定位技术方面，常用的有光学定位［2－3］、超声定位［4］、X 射线定位［5］和磁定位［6－12］等。光学定位的精度高，但是存在光线反射、物体遮挡等问题;X射线定位可以提供精度较高的二维、三维图像，但是该方法需要从不同角度获取图像，并且使医生和患者承受长时间的X射线辐射，给病人带来很大的副作用;超声定位的测量范围大，检测简单，但是容易受温度、湿度的影响，精度较低。

由于人体是非导磁体，其磁导率和真空磁导率相近，所以人体的介入对于静(或低频变化)磁场几乎没有影响，从而在手术环境中磁定位可以得到很高的精度。磁定位有永磁体定位和电磁定位。永磁体定位具有体积小、不需电源和控制电路等特点，但容易受地磁场和周围磁场的干扰，影响精度，且要求定位空间上没有磁性材料的器械，否则会有干扰影响结果，甚至会使定位失败。本文采用的电磁定位应用电磁感应的原理，能够克服环境静磁场的影响，受外界干扰小，并且可以通过控制电流和线圈的方向来获得不同的磁场分布，因而更加方便;同时通过特定的磁场交变信号调制方法，能大大降低周围磁性材料的器具对定位结果的影响，保证定位的精度和鲁棒性;同时利用LM的最优化算法，保证计算的精度和速度。我们设计了基于交变电磁信号的定位跟踪系统，应用于骨科手术机器人的植钉手术过程。下面是该系统的介绍。

1 电磁定位模型

理论上，通电导体周围的磁场分布可由毕奥－萨伐尔定律推出，当源点O到场点P的距离r远大于通电线圈的尺寸R时，可将线圈近似为磁偶极子［13－16］。

如图1所示，电磁线圈(磁偶极子)在场点P处的磁感应强度为

图1 载流线圈

由磁偶极子模型做进一步推导，如图2所示，点O=(a，b，c)T为磁偶极子的位置，H0=(m，n，p)T为磁体方向。从式(1)可以推出，点P=(x，y，z)T处的磁感应强度为［12］

其中BT是和磁场大小相关的一个常量，

图2 磁偶极子模型

在发射线圈中加入交流电，即会产生变化的磁场。依据电磁感应定律，通过导体回路的磁通量随时间发生变化时，回路中就有感应电动势产生。我们以线圈作为接收器，通过接收线圈的磁通量发生变化时，接收回路产生感应电动势。

由式(3)、式(4)可知，由于线圈有固定的尺寸和匝数，所以S和n为常数，感应电动势E与B的变化率成线性关系。通过测量E的大小，可计算出磁感应强度B的大小。

如图3所示，在发射线圈所处的位置定义一个坐标系(发射坐标系XYZ)，一个发射线圈可以等效为一个磁偶极子，它产生的磁感应强度按发射坐标系XYZ可以分解为三个正交的分量Bx'By'Bz'。将三个正交的接收线圈作为一组接收器，对应一个发射线圈，一组接收器将沿着接收线圈自身的正交方向感应到三个磁感应强度BxByBz。

图3 发射接收模型

B'xB'yB'z通过坐标旋转，即先绕X轴旋转α度角，再绕Y轴旋转β度角，最后绕Z轴旋转γ度角，可得到BxByBz。(α，β，γ)表示接收器的角度信息。

旋转矩阵

将式(2)展开，有

则

n为发射线圈的编号。

BnxBnyBnz可由接收线圈的感应电动势计算得到，发射线圈的位置(a，b，c)和磁体方向(m，n，p)均为已知，由式(9)、式(10)、式(11)、式(12)可以确定三个方程，而目标的方向和角度信息需要确定六个参数(x，y，z，α，β，γ)，因此至少需要六个方程，即两个发射线圈和一组接收线圈，才能够得到目标的信息。

2 定位算法

得到方程之后，要通过合适的算法来计算位置参数(x，y，z)和方向参数(α，β，γ)。这里，我们选用Levenberg-Marquardt算法。

Levenberg-Marquardt(LM)算法是广泛应用的最优化算法，融合了梯度下降法和高斯－牛顿迭代。LM算法的关键是用模型函数f对待估参数向量L在其邻域做线性近似，忽略掉二阶以上的导数项，从而转化为线性最小二乘问题，它具有收敛速度快等优点。

定义:B为传感器测得的数据，L为目标参数，则

目标函数为B－f(L)，LM算法是要找到最佳的L使上述目标函数为最小，算法过程如下:

对于很小的‖δL‖，由泰勒展开得:

其中J为雅克比矩阵∂f(L)/∂L。

LM算法是迭代的，每一步都希望找到一个δL令

最小，这样转化为一个求解线性最小二乘问题。即

解方程即可得到δL。其中JTJ为Hessian矩阵的近似。

为了提高LM算法的收敛速度，令

其中

I为单位矩阵，ui＞0称为阻尼因子，它可以调节迭代的速度，还可以消除N的奇异性。

在最开始迭代的时候，ui=k［JTJ］ii，k≪1 为常数。当前迭代值距离最优解远的时候，增大ui使得收敛速度加快;当前迭代值距离最优解近的时候，减小ui的值以提高精度。

在迭代过程中，若

则用δL更新L，同时减小ui的值，进入下一次迭代;否则增大ui的值，重新计算 δL。直至满足中止条件。

中止条件包括以下:

1:‖JTε‖＜ε1

2:‖δL‖＜ε2

3:‖εTε‖＜ε3

4:count=countmax

其中 ε1ε2ε3为远小于 1 的常数，count为当前迭代次数，countmax为允许的最大迭代次数。

3 仿真和实验结果

考虑到电路中的噪声和电磁信号的衰减，为了保证定位的精度，适当增加发射线圈个数，并在不同位置放置，保证信号的接收。由式(12)可知，每增加1个发射线圈，可以增加3个方程。对此利用MATLAB软件对系统做出仿真，找出最适合的发射线圈个数。

图4 仿真模型

在实验中，将发射线圈在同一平面内放置，每3个发射线圈正交放置在一起，即一组发射线圈处于同一位置，但角度不同。3组发射线圈的位置为(0，0，0)(0，1，0)(0.5，0.5，0)，单位为米。9 个发射线圈的磁体方向分别为(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)。接收线圈在1 m×1 m×1 m的空间内随机放置。

首先将接收线圈随机放置在一个位置，然后增加发射线圈的个数，从2个逐个增加到9个，对应的方程从3个增加到27个。每增加一个发射线圈，通过所得方程组和LM算法计算接收线圈的位置和角度，实验结果如图5图6所示。

图5 位置误差随方程数的变化

图6 角度误差随方程数的变化

为了验证仿真的准确性，我们做了进一步的仿真。发射线圈分别取2个、5个、9个，接收线圈在1 m×1 m×1 m的空间内随机放置，计算50个位置下不同方程个数对应的位置和角度误差。图7、图8为仿真结果。

图7 6、15、27组方程的位置误差，50个位置

图8 6、15、27组方程的角度误差，50个位置

从仿真实验中可以发现随着方程数的增加，目标位置和方向的精度在不断提高。仿真的位置误差平均为0.3 mm，方向误差0.002弧度。

根据仿真的结果，在实验中我们采用了3组发射器，每组发射线圈由3组正交的线圈组成，发射器的位置和仿真实验相同。在发射器中输入交流信号，选用研华公司的PCI 1747U采集信号，信号经过处理校正后利用VC++进行数据计算和方向位置的显示。实验结果表明，位置误差平均为1.3 mm，方向误差平均为0.002 2弧度。图9、图10、图11为实验数据。

图9 计算结果和位置方向显示

图10 实验结果：位置误差，30个位置

图11 实验结果：角度误差，30个位置

4 结论

这里针对计算机辅助骨科手术提出了电磁定位的方法，基于磁偶极子模型，利用电磁感应定律，通过LM算法进行计算，得出目标在位置上(x，y，z)和方向上旋转角度(α，β，γ)的信息。仿真结果显示，在采取27组方程的情况下可以得到很好的定位精度。经过实验验证，位置误差平均为1.3 mm，方向误差0.001 2弧度。今后将继续分析发射线圈的位置分布和接收线圈的定位范围，从系统硬件设计及磁场模型分布的优化等方面来减小误差和干扰，提高系统精度。

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