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关于导函数连续的条件分析

2011-09-26王雪琴

渭南师范学院学报 2011年2期
关键词:高等教育出版社渭南连续性

王雪琴

(渭南师范学院数学与信息科学系,陕西渭南714000)

关于导函数连续的条件分析

王雪琴

(渭南师范学院数学与信息科学系,陕西渭南714000)

通过对导函数特性的分析,得到了导函数连续的几个充分条件,为继续研究分段函数的连续性及后续的积分学提供了理论依据.

导函数连续性;一致可微;凹凸性;充分条件

1 预备知识

定义[4]设f(x)在区间I上有定义,若对时,有

则称f(x)在区间I上一致可微.

引理1[1]若函数f(x)在U(x0)内连续,在U0(x0)内可导,且极限存在,则f'(x)在x0点连续.

该引理是导函数的连续性定理,说明导函数极限存在就连续,即不存在第一类间断点.它与一般函数不同,这是导函数的一大特性.

引理2[5]若函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且f'(x)在(a,b)单调,则f'(x)在(a,b)内连续.

该引理说明导函数如果单调就连续,但对一般函数而言,需要满足单调有界定理才能有极限,所以谈不上连续.它又体现了导函数的特性.

引理3[3]若函数f(x)在开区间(a,b)内可导,f(x)为凹(凸)函数当且仅当f'(x)为减(增)函数.

2 结论及证明

结论1 若函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)为凹(凸)函数,则f'(x)在(a,b)内连续.

证明:由引理3及引理2可证得.

说明:若x0为f'(x)的间断点,则必是第一类间断点:即凹(凸)函数不存在第二类间断点.

结论2 若f(x)在区间I上一致可微,则f'(x)在区间I上连续.

数学分析研究的对象是函数,导函数是函数中极其特殊的一类函数,而导函数的特性是数学理论与数学教学中值得探讨的一个课题,它对丰富数学的内容,培养学生数学思维的能力具有重要的意义.参考文献[1]、[2]、[3]中给出了导函数的连续性及介值性定理.本文在此基础上继续研究导函数连续的充分条件,得出几个重要结论.

由连续的定义知f'(x)在x0连续.由于x0的任意性,所以f'(x)在区间I上连续.

说明:可微是局部性,一致可微是整体性.一般情况下f(x)的导函数f'(x)不一定连续,但在一致可微的情况下导函数一定连续.

结论3 若f(x)满足f″(x0)存在.令,则g'(x)在x0连续.

证明:f(x)在x0的泰勒公式为

由引理1知g'(x)在x0连续.

说明:该函数是一个构造性函数.它与导函数的概念密切相关,它同样具有导函数连续性的特性.为研究导函数分段点的连续性及泰勒公式的延拓提供了理论依据.

3 结束语

从以上的分析研究可以看出,导函数是极其特殊的函数,它具有介值性但不要求其连续;具有连续性只要求有极限、单调或为凹凸函数.在此基础上,还可以继续研究导函数的其他特性及其这些结论的具体应用,为后续课程的学习及研讨奠定良好的理论基础.

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]谢惠民.数学分析习题课讲义(上册)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]刘玉琏.数学分析习讲义学习指导书(上册)[M].北京:高等教育出版社,1990.

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003.

[责任编辑 舒尚奇]

Abstract:The certain sufficient conditions of the continuity of derivative functions are obtained by the analysis of the characteristics of derivative functions,which offers a theoretical rationale for further study of the continuity of sub-function and the integral calculus.

Key words:continuity of derivative functions;consistent differentiability;convexity-concavity;sufficient conditions

The Analysis of Conditions of the Continuity of Derivative Functions

WANG Xue-qin
(Department of Mathematics and information Science,Weinan Teachers University,Weinan 714000,China)

O172

A

1009—5128(2011)02—0036—02

2010—10—26

王雪琴(1962—),女,陕西大荔人,渭南师范学院数学与信息科学系副教授.

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