正多边形对称群的性质

顾艳红，李 扉

（北京林业大学理学院，北京 100083）

正多边形对称群的性质

顾艳红，李 扉

（北京林业大学理学院，北京 100083）

利用M．Chasles定理研究了正多边形对称群元素的类型，并对这种群中任意两个变换的乘积进行了讨论，由此解决了正多边形对称群的结构问题，即正n边形对称群由其中任意一个反射变换和任意一个阶为n的旋转变换生成．

正多边形；群；对称群

群是研究对称性的有力工具，在文献中也常有“对称即群”的说法．常见的平面图形，如圆、正方形、等边三角形等，虽然都具有一定的对称性，但它们对称性的强弱显然不一样．在代数中，可以用平面图形的对称群来刻画平面图形的对称性．正多边形对称群又称二面体群，它是一种特殊的有限群，也是一种较具体的群，有关这种群的研究主要涉及它的一些性质以及应用［1－3］，在此主要研究正多边形对称群的一些性质．

引理1［4］（M．Chasles定理）平面的运动有且只有下列3种：

1）沿任一给定向量的平移；

2）以任意点为中心的旋转；

3）绕某一直线作翻折再沿该直线上的一个向量作一个平移（包括作纯翻的情况），即关于该直线的反射．

2）对反射变换g，由于连续经过两次相同的反射变换，正n边形的各点都回到自身，所以

性质3 设G为正n边形的对称群，则G中非恒等的旋转变换和反射变换的乘积一定为反射变换．

证明 设f，g分别为G的任意非恒等的旋转变换和反射变换，由性质2知f，g的逆元分别为旋转变换和反射变换，所以fg≠e．设γ表示绕正n边形中心O逆时针旋转转角的旋转变换，由性质1，存在某个正整数i，使f＝γi，若fg为旋转变换，不妨设为γk，即有γig＝γk，若i≤k，则g＝γk－i不是非恒等的反射变换，若i＞k，则有γi－kg ＝e，得到g＝ （γi－k）－1＝γn－i＋k不是非恒等的反射变换，所以fg 为反射变换．同样可证gf为反射变换．所以G中非恒等的旋转变换和反射变换的乘积一定为反射变换．

性质4 设G为正n边形的对称群，则G中任意两个旋转变换的乘积一定为恒等变换或旋转变换．

性质5 设G为正n边形的对称群，f，g分别为G的非恒等的旋转变换和反射变换，且

证明 首先易知｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝⊆ G，由及性质4，知e，f，f2，…，fn－1，g为G的n＋1个互不相同的元素，由性质3和性质4知fg≠e，f，f2，…，fn－1，又如果fg＝g，则由群的消去律会有f＝e，所以e，f，f2，…，fn－1，g，fg为G的n＋2个互不相同的元素．其次，由于f2为非恒等的旋转变换，同样由性质3和性质4有f2g≠e，f，f2，…，fn－1，另外如果有f2g＝g，fg，则由群的消去律得到f2＝e，f＝e，这不可能，所以e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g为G 的n＋3个互不相同的元素．照此推理，可以知道集合｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝中含2n个互不相同的元素，又由推论1知G＝2n，所以G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝．

同样可证G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，gf，gf2，…，gfn－1｝．

由以上性质可得如下推论．

推论2 设G为正n边形的对称群，f，g分别为G的非恒等的旋转变换和反射变换，且则G＝ 〈f，g〉，即G由元素f，g生成．

推论3 设G为正n边形的对称群，f，g分别为G的非恒等的旋转变换和反射变换，如果n为素数，则G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝或G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，gf，gf2，…，gfn－1｝．

推论4 设G为正n边形的对称群，则G中任意两个相异的反射变换的乘积一定为旋转变换．

证 明 由性质5，G＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝，其中f，g分别为G 的非恒等的旋转变换和反射变换，且

任取两个相异的反射变换，不妨设为fkg和flg，其中0≤k，l≤n－1，且k≠l，反设（fkg）（flg）为反射变换，设为ftg，即（fkg）（flg）＝ftg，由群的消去律，得到（fkg）（fl）＝ft．当t＝0时，有（fkg）（fl）＝e，此时如果l＝0，得到fkg＝e，这与fkg为反射变换矛盾，如果l≠0，则（fkg）（fl）＝e与反射变换的逆元是其自身矛盾；当t≠0时，（fkg）（fl）＝ft与性质3的结论矛盾．所以，G中任意两个相异的反射变换的乘积一定为旋转变换．

［1］谢铁顿．二面体群Dn与Zn上的一类全向置换［J］．信息工程大学学报，2002，3（4）：70－71．

［2］赵红梅，唐国平．二面体群整群环的n次增广理想及其商群结构［J］．陕西师范大学学报：自然科学版，2005，33（2）：18－21．

［3］郭佳意，董正林．对称群在面饰分类中的应用［J］．数学通报，2007，46（9）：60－63．

［4］刘绍学．近世代数基础［M］．北京：高等教育出版社，1999：2．

［5］杨子胥．近世代数［M］．2版．北京：高等教育出版社，2003：41．

Abstract：By using M．Chasles Theorem，the paper studied the types of the elements of regular polygons symmetry group，discussed the product of two transformations in this group．It is proved that the regular n－gons symmetry group is generated by a rotation transformation with rank nand a reflection transformation．

Key words：regular polygons；group；symmetry group

The Properties of Regular Polygons Symmetry Group

GU Yan－hong，LI Fei
（College of Science，Beijing Forestry University，Beijing 100083，China）

O152 MSC2010：20B25

A

1674－232X（2011）01－0015－03

2010－09－09

中央高校基本科研业务费专项资金资助．

顾艳红（1975—），女，湖南湘阴人，讲师，硕士，主要从事同调代数与近世代数研究．E－mail：yanhong＿gu＠126．com

10．3969／j．issn．1674－232X．2011．01．003