高中数学中不等式的证明方法

黄 东，苟一泉，赵中玲

(西南大学 数学与统计学院，重庆 400715)

1 三角代换

利用三角函数进行换元,把一般不等转化为三角函数问题,实现了问题化归解决的目的)

例 1:已知:x2+y2≤1,求证:

2 换元法

引进新的变元,转化解决问题的角度。

3 反证法

当正面研究问题有困难时,常常换一种思路,从其反面着手,往往会化难为易。

例 3:坌a,b,c缀(0,1),求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）中至少有一个不大于

4 放缩法

利用常见不等式进行适当的放大或者缩小,以达到证题的目的。

例 4:已知 a,b,c缀R+， 求证：

由(1),(2),(3)得:

5 判别式法

把复杂的不等式问题转化为熟悉的一元二次函数问题,达到简化的目的。

6 构造法

构造合适的数学情景,如:函数,图形等,利用熟知的知识来解决抽象的不等式问题。

证明:构造△ABC，O 为其内一点，且有 AO=x，BO=y，CO=,由余弦定理知：

7 向量法

利用向量的手段，把代数问题向量化，转化了思考问题的角度，拓宽了思路。

此外,不等式的证明方法还有:Cauchy不等式,排序不等式,函数的凹凸性,数学归纳法等,限于篇幅,这里就不再赘述。不等式是高中数学的重点与难点,笔者对不等式的证明方法作了一些总结,希望能为读者在认知不等式的过程中提供思路。