马尔科夫链预测法对四川各地区人均GDP的研究

2011-09-21胡斌彬

时代农机 2011年7期

胡斌彬

（重庆师范大学，重庆 401331）

马尔科夫预测是利用现在的状态去预测将来的状态，因此它在预测上面的应用十分广泛。马尔可夫状态转移概率矩阵不仅可以描述研究对象的发展演变情况，而且还常被用于各种预测。本文将借助马尔可夫状态转移概率矩阵来研究未来几年四川各地区的小康情况。

1 马尔科夫链转移概论矩阵的意义

马尔科夫的一步转移概论Pij表示的意义是：变量现在处于状态i，下一个状态处于j的概率。比如，今年某产品的市场占有率处于状态i，在明年的状态可能会发生变化，处于状态j，这发生的概率就是一步转移概率，即是表示随机现象朝某个方向发生变化的可能性的大小。我们考虑到马尔科夫链的所有可能的m个状态空间一步转移概率Pij，就构成了一步转移概率矩阵。

2 四川省各地区人均GDP实证分析

四川省各地区2007-2009年人均GDP，可参见中国统计年鉴。由于现在国内还没有对小康的评价做出统一的标准，世界银行《1990年世界发展报告》中按照人均GDP将各个国家或地区分别划分为贫困、温饱、小康、富裕、和发达型国家或地区五种类型。在评价国家小康的问题上，采用了12项指标，其中人均DGP和恩格尔系数是两项重要指标，现在我们利用人均DGP指标，再利用马尔科夫预测法来分析国家未来几年的人均DGP。根据四川省的实际情况和国内比较普遍的观点，按照如下标准划为五种状态：

I1为贫困（人均 GDP300美元以下）；I2为温饱（人均GDP300美元～800美元）；I3为小康（人均 GDP800美元～1500美元）；I4为（人均 GDP1500～3000 美元）；I5为发达（人均GDP3000美元以上）。

根据马尔科夫链的定义和性质，考察特定年份的一组各市人均GDP情况，其变化时一种随机的过程，且具有“无后效性”的性质，因此视为以年为变化单位的一个马尔科夫过程。

各地区按照人均GDP情况分为贫困地区、温饱地区、小康地区、富裕地区、、和发达地区（见表2）。计算的方法是将人民币按照当年不同的汇率兑换成美元计算，本文取当年12月月底的兑换率（其中2009年的兑换率是一美元兑换6.831的人民币、2008年的兑换率是6.8346和2007年的兑换率是7.347）。

表1 四川省各地区2007年人均GDP类型统计表

表1表示的是，2009年贫困地区数为0，温饱地区数为0，小康地区数为4（广元市、巴中市、阿坝县和甘孜县），富裕地区数为13，发达地区数为3（成都市、攀枝花市、德阳市），总数20表示的是四川所有要研究的地区数为20，其余的数据表示的意思类同。

我们对2007～2008年和2008～2009年的转移概率矩阵取平均值，可得一步转移概率为：

对于上述转移概率矩阵求极限，由于只存在一种吸收状态——发达地区，因为随时间的增加，最终所有地区的小康水平必会达到发达水平。

假设 Xk=（X1k，X2k，X3k，X4k，X5k）表示第K年各种人均 GDP状态的地区数，X0=（X10，X20，X30，X40，X50）=（0，1，5.6667，11,2.3333）表示的是 2007-2009 年三年间平均各地区人均GDP的状态数。

若要计算第K年各种人均GDP状态的地区数，则可根据以下公式得出：Xk=X0×Pk（其中表示的是一步转移概率矩阵的k次方）。比如我们计算2010年各种人均GDP状态的地区数则有：X1=X0×P1，带入数据则可计算出2010年各状态的地区数是：X1=（0，0，2.925，12.9173，4.1577）。

即2010年，四川没有贫困地区数，温饱地区数也为0个，小康地区数为2.925个（即接近三个地区为小康地区），富裕地区数为12.9173（即接近13个地区为富裕地区），发达地区数为4.1577个（即接近4个地区为发达地区）。