基于加权总体最小二乘的平面点云拟合方法

2011-09-19楼立志陈玮娴

测绘通报 2011年3期

关键词：平面激光精度

袁庆，楼立志，陈玮娴

(同济大学测量与国土信息工程系，上海200092)

基于加权总体最小二乘的平面点云拟合方法

袁庆，楼立志，陈玮娴

(同济大学测量与国土信息工程系，上海200092)

根据每个点云激光反射强度不同以及对于系数阵A的部分修正，在地面三维激光的平面点云拟合中引入加权总体最小二乘的方法，建立较最小二乘方法和总体最小二乘方法更加合理的模型。根据相应的迭代算法，经实例计算证明该方法更加合理，可以获得更高精度的参数解。

点云;EIV模型;平面拟合;加权总体最小二乘

一、引言

在地面三维激光扫描的应用中，经常会遇到一些点云平面的拟合问题，如墙面平整度检测、道路路面数据拟合等［1］。所谓平面点云拟合，即从扫面点云数据中得到一组有关平面的数据(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，利用拟合算法确定空间平面方程参数。传统的做法是建立高斯-马尔科夫(Guass-Markov)模型，采用最小二乘(least squares，LS)方法拟合平面。用LS法可以求得参数的最或然值，此时需要有一个基本假设，即偶然误差e只存在于观测向量Y中，而系数矩阵A是不受偶然误差影响的。然而，这并不符合事实，由于模型误差、人为误差、仪器误差等使得点云数据中几乎所有的观测值中都存在误差，因此，包含变量的系数矩阵A也含有误差。考虑引入总体最小二乘(total least squares，TLS)方法，建立变量误差(EIV)模型，同时考虑观测向量和系数矩阵的误差。在此基础上，根据每个点的激光反射强度定义拟合权阵，得到加权总体最小二乘(weighted total least squares，WTLS)的平面拟合方法。经实例计算证明，WTLS方法更加合理，可以得到更高精度的参数解。

二、最小二乘解算平面参数

经过预处理后得到一组平面点云数据(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，利用拟合算法确定空间平面方程参数。空间平面方程为

式中，a、b、c为待求参数。利用线性回归模型进行参数估计的Guass-Markov模型为

式中

LS估计准则为

单位权中误差为

三、加权总体最小二乘解算平面参数

1.EIV模型

考虑系数矩阵A中误差的EIV模型为

WTLS估计准则为

2.WTLS权阵的定义

在实际中，每次扫描得到的是被扫平面每个点云的一组信息，这组信息包含了扫描点云的坐标信息和激光反射强度信息，即每个点云的三维坐标和激光反射强度值。而激光反射强度与入射角度存在如下关系:E'i=E0cos αi(i=1，2，…，n) ，式中，为每个扫描点的激光反射强度;E0为垂直入射时的反射强度;αi为入射角。即入射角度越接近于90°，激光反射强度越大，点位精度越高，参与拟合的权重也应越大;相反，入射角越接近于0°，激光反射强度越小，点位精度越低，参与拟合的权重应越小［3］。通常的激光反射率是在 (0，255)之间的数值，通过相应的转换关系 Ei=(E'i×0.303 7+621.872 9)/1 244将反射强度转换为0～1之间的数值(即Ei)，再将Ei作为每个点云相应的权值。假设点云在x、y、z三个方向等精度获取，对于平面靶标的系数阵列向量和观测值，有σx=σy=σz，则具体权阵形式如下

式中，P0为系数阵A的列向量权阵，P0的第三个对角元素为0，表示系数阵A中的第三列不需要改正，其余对角线元素为1，表示系数阵A中的第一、二列的数据列中的元素是等精度获取的;PY为观测值权阵;PX为A阵行向量权阵。

3.迭代法求解参数及精度评定

根据Shaffrin提出的迭代法［4］求解点云平面参数的过程具体如下。

四、实例分析

本文采用Faro laser scanner对墙面、路面数据进行扫描得到原始点云，如图1所示，具体步骤如下。

图1 原始点云

1)为避免由于直线平行于某坐标轴而出现数值问题［5］，求出坐标 (xi，yi，zi)T(i=1，2，…，n) 中的三个坐标分量的最大值和最小值之差为Δx、Δy、Δz。在 Δx、Δy、Δz中，若 Δx最小，则按 x=ay+bz+c拟合;若Δy最小，则按y=az+bx+c拟合;若Δz最小，则按z=ax+by+c拟合。

2)将反射率转化为0～1之间的数值，设置阈值，滤去噪声点。

3)在点云平面中任取三个点，求出平面参数初值，计算每个点到平面的距离，将距离小于2 mm的点删除。

4)根据式(2)、式(8)组成观测方程。

5)根据式(9)～式(11)求解参数，并由式(12)～式(14)进行平差精度评定，与TLS方法和LS进行比较，得到的结果如表1、表2所示。墙面拟合的残差如图2所示。

表1 墙面拟合参数及精度

表2 路面拟合参数及精度

由表1、表2可以看出，WTLS方法拟合的单位权中误差要小于LS方法和TLS方法。墙面拟合中WTLS方法得到的精度相对LS方法和TLS方法提高了58%，路面拟合中WTLS方法得到的精度相对LS方法和TLS方法分别提高了61%和50%。由图2可以看出，LS方法仅仅修改了观测值向量，而TLS和WTLS方法则修改了系数阵和观测值，使得残差同时出现在观测向量和系数矩阵中。且引入点云的权阵，得到更加合理的拟合模型和更高精度的参数解。