一类极小谱任意符号模式❋

任国花,高玉斌

(中北大学 理学院,山西 太原 030051)

元素取自集合 {+,-,0}的矩阵为符号模式矩阵,简称为符号模式.若 A=[ai j]是一个实矩阵,则把由 aij的符号为元素所组成的矩阵称为 A的符号模式,记为 sgn A[1-5].对一个 n阶符号模式 A,A的定性矩阵类定义为

对两个同阶符号模式 A=[aij]和为 A的母模式,A为A～的子模式.显然,符号模式A既是它本身的母模式又是它的子模式.称符号模式A的不是它本身的子模式为 A的真子模式.对 n阶符号模式 A,如果存在一个实矩阵 B∈Q(A),使 B的特征多项式fB(x)=xn,则称 A蕴含幂零,B为幂零矩阵;如果对任意 n次首 1实系数多项式 r(x),在符号模式 A的定性矩阵类 Q(A)中存在一个矩阵B,使得B的特征多项式 fB(x)=r(x),则称 A是谱任意的.显然,如果 A是谱任意的,那么它一定蕴含幂零;如果谱任意模式 A的任意一个真子模式都不是谱任意的,则称 A为极小谱任意的.对一个 n阶符号模式 A,若任一矩阵 B∈Q(A)是非奇异的,则 A是符号非奇异的;若每一个矩阵 B∈ Q(A)是奇异的,则 A是符号奇异的.

2000年 J.M.Drew等人在文献 [6]提出了谱任意符号模式的概念,并据隐函数的存在定理给出了=如果当aij≠0时,ij=aij,则称一种证明符号模式是谱任意的 Nilpotent-Jacobian方法(见引理 1),文献 [6-11]等分别给出了一些 n阶的极小谱任意模式,但其中有 2n个非零元的极小谱任意模式很少.本文给出了一类有 2n个非零元的n阶(n≥5)极小谱任意符号模式.

1 预备知识

引理 1[6]设 A是一个 n阶符号模式,若B∈Q(A)为幂零矩阵,且 B中至少含有 n个非零元bi1j1,.把 B中这 n个非零元用变量 x1,…,xn代替后所得的矩阵记为 X,且记 X的特征多项式为fX(x)=xn+ f1xn-1+ f2xn-2+ …+ fn-1x+ fn.如果当(x1,… ,xn)=(bi1j1,… ,binjn)时0,则 A的每一个母模式都谱任意.

本文研究当 3≤r≤_n-2时如下类型的 n阶(n≥5)符号模式：

式中：an1=+ ,arr=+ ,ai,i+1=+ ,i=1,2,… ,r-2;ai1=-,i= 1,2,… ,r-1;ai2=-,i=r+ 1,… ,n;ai,i+1=-,i=r-1,…,n-1.

设 B=[bij]∈Q(A),由于相似矩阵有相同的特征多项式,不妨设 B有如下的形式：

式中：T＞ 0,ai＞ 0,i=2,3,… ,r-1,r+1,… ,n+ 1.

引理 2 设 B∈Q(A)有形式(2),其特征多项式为 fB(x)=xn+ f1xn-1+ f2xn-2+…+ fn-1x+ fn,则

1)

当 n-r为偶数时

当 n-r为奇数时

2)

证明：1)

将第i行的 x倍加到第i+1行(i=1,2,… ,r-2),再将第j行的 -x倍加到第j+1行(j=r-1,r,… ,n-2),并依次按第3,4,… ,n-1列展开,得

fB(x)=

(- 1)n-1-ran+1]x+ [(- 1)n-ran+(- 1)n-1-ran+1].因此 1)成立.

2)当 n-r为偶数时

当 n-r为奇数时

引理得证.

引理 3 若 n阶符号模式 A有形式(1)(3≤r≤n-2),则 A蕴含幂零.

证明 由引理 2知,当(T,a2,… ,ar-1,ar+1,… ,an+1)=(1,1,… ,1,1,… ,1)时,B∈ Q(A)是幂零矩阵,故 A蕴含幂零.引理得证.

2 主要结果

定理 1 若 n阶符号模式 A有形式(1)(3≤r≤n-2),则 A及其母模式是谱任意的.

证明 由引理 1,引理 2和引理 3,定理得证.

定理 2 若 n阶符号模式 A有形式(1)(3≤r≤n-2),则 A是极小谱任意的.

证明 设 T=[tij]是符号模式 A的一个子模式,且 T是谱任意的,则

1)t1,1≠0且 tn,n≠0;否则 T的迹恒为正或负,从而T不是谱任意的,矛盾.

2)ti,i+1≠0,i=1,2,…,n-1;否则T是符号非奇异或符号奇异的,从而 T不是谱任意的,矛盾.

3)因为T是谱任意的,则必存在实矩阵 B∈Q(T)是幂零的.设 B有形式(2),由引理2,f1=f2=… =fn=0,得 T=1,ai=T=1,i=2,3,… ,r-1,r+1,… ,n+1.因为 T≠ 0,故 ai≠ 0,i=2,3,… ,r-1,r+1,…,n+1.

综合上述讨论知,T=A,即 A没有一个真子模式是谱任意的,故 A是极小谱任意的.定理得证.

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