有限差分强度折减法中融合蒙特卡洛思想的边坡可靠性分析

陈 欣，付建军，赵海斌，黄太平，时 凯

有限差分强度折减法中融合蒙特卡洛思想的边坡可靠性分析

陈 欣1，付建军2，赵海斌2，黄太平2，时 凯3

（1．武汉船舶职业技术学院船舶工程系，武汉 430050；2．中国水电顾问集团中南勘测设计研究院，长沙 410014；3．中国科学院武汉岩土力学研究所，武汉 430071）

可靠性分析是边坡工程研究的热点之一，但目前基于强度折减方法的边坡可靠度分析研究较少，文章主要是在有限差分强度折减法基础上融合蒙特卡洛思想进行边坡可靠性分析。其研究思路为：首先详细概述了边坡可靠性分析原理及边坡可靠度分析统计模型；其次，介绍了有限差分强度折减法及蒙特卡洛思想，并将蒙特卡洛思想引入边坡有限差分强度折减模型，利用FLAC3D内置fish语言编制了相应计算程序，使此模型数值计算得以实现；最后，对某岩体力学参数（粘聚力、内摩擦角）服从正态概率分布的简单边坡进行了安全系数计算，且对计算结果进行了统计分析、可靠性评价。其研究方法将为工程岩体边坡可靠性分析提供一定参考价值。

可靠性分析；强度折减法；蒙特卡洛思想；正态概率分布

1 概 述

随着我国高铁、公路、水电站、矿山建设的迅速发展，大规模的岩体边坡工程开挖推动了我国边坡工程支护设计和施工的进步。边坡稳定性分析［1－3］也逐渐成为众多学者研究的热点，

边坡稳定分析主要包括确定性分析方法［4，5］和可靠度［6－8］设计方法2种。确定性分析法是在假定坡体材料参数粘聚力、内摩擦角等为一个定值的基础上，根据极限平衡法或强度折减法［9，10］基本步骤进行力学求解获得安全系数，接着通过分析安全系数大小来判定边坡安全状态。其缺点在于忽略了岩体材料参数的随机性和变异性，采用定值的材料参数来评价边坡安全性。可靠度［6－8］设计方法就是以随机事件和随机过程为对象来研究岩土工程问题，即认为岩体材料参数服从某一概率分布的前提下，以极限平衡法或强度折减法为理论基础，运用数学统计方法获得边坡安全系数的概率分布。该方法在很大程度上可以改善和弥补确定性方法的不足。在同样的设计计算模型条件下，用可靠度的设计方法代替确定性的安全系数法，必将使计算结果更符合实际。

有关边坡的可靠性分析，国内外有一定探索研究，也取得了一定成果，但大部分边坡安全系数可靠性研究主要集中在极限平衡法［6－8］，这是因为极限平衡法中安全系数可用一个线性的函数表述其与材料参数（粘聚力、内摩擦角）的关系，故安全系数的概率分布也可由材料参数的概率分布线性求解。与之相反，尽管在某些方面强度折减法计算安全系数的优势大于极限平衡法，但是强度折减法可靠性分析研究仍相对较少，这是因为强度折减法计算的安全系数与边坡岩体材料参数可能不再是简单的线性关系，理论关系式推导过程也相对复杂。因此，本文主要研究基于有限差分强度折减法的边坡可靠性。

2 边坡可靠性分析原理

2．1 可靠性定义

边坡可靠性，指在规定的条件和规定的时间内，完成预定功能的能力。为了把可靠性作为边坡工程量化指标，引入可靠度［6，11］概念，即在规定的条件下和规定的时间内，完成预定功能的概率。评价边坡可靠度是把安全系数作为随机变量，从定量化的意义上讲，即在规定的条件下和规定的时间内，安全系数大于某一规定值的稳定概率，取值范围是在闭区间［0，l］。

2．2 边坡可靠度分析统计模型

2．2．1 极限状态

整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，这一特定状态称为该功能的极限状态。如果用随机向量X（X1，X2，…，Xn）表示边坡的基本随机向量，用g（X）描述边坡的状态性能，称为边坡功能函数，则边坡的工作状态可表示为

式（1）把边坡工程系统分成3种状态，即：

Z＝g（X）＞0，边坡工程处于可靠状态；

Z＝g（X）＝0，边坡工程达到极限状态；

Z＝g（X）＜0，边坡工程处于失效状态。

下面详细介绍Z＝R－S的干涉理论及破坏概率。式中R为结构构件抗力值或抗滑力，S为结构构件设计值或滑动力。

2．2．2 干涉理论及破坏概率

我们研究结构抗力值R和结构设计值S两个随机连续变量所构成的联合事件概率分布。依据联合分布的定义，有

因R和S皆非负值，故积分下限均取作“0”。f（r，s）为随机变量R和S的联合密度函数，若R和S相互独立，则

概率元素f（r，s）d r d s＝p（r＜R≤r＋d r，s＜S≤s＋d s）而

图1 f（r）与f（s）干涉Fig．1 f（r）and f（s）interference

图1 中可见，尽管结构抗力值R的均值ur远大于结构设计值S的均值us，但因2个随机变量的密度函数曲线有交叉，形成重叠部分即干涉区，在干涉区内，既有结构抗力值大于结构设计值的可能，也有结构抗力值小于结构设计值的可能。而出现后一种情况，则边坡破坏，其破坏概率为

相应的可靠度，即边坡能够完成预定功能的概率为

由于（R＜S）与（R＞S）是互逆事件，故Pf＝1－Ps，一般来说，边坡工程中，破坏概率可以分别由3个等价事件的概率来表示：

本文定义边坡岩体临界塑性屈服破坏时粘聚力c0和内摩擦角φ0为结构设计值S，边坡岩体固有强度参数粘聚力c和内摩擦角ø为结构抗力值，定义有限强度折减法下边坡状态方程为

3 有限差分强度折减法

强度折减法认为在外荷载保持不变的情况下，边坡失稳破坏主要为岩体的剪切破坏。将边坡的安全系数定义为岩体自身固有抗剪强度与抵御外荷载所发挥的最低抗剪强度之比，安全系数具有明显的强度储备的意义。

强度折减系数法的基本步骤是将岩体参数粘聚力c和内摩擦角φ必须同时除以一个折减系数F，得到一组新的c′和φ′值，然后作为新的材料参数代入数值计算程序进行试算，当边坡处于临界状态时，也即F再稍大一些，边坡将发生破坏，对应的F被称为边坡的稳定性系数，此时土体即将发生剪切破坏，即计算结果是指达到临界状态时的折减系数F。

强度折减法在FLAC3D实现的流程见文献［12］。

4 融合蒙特卡洛法思想的边坡稳定可靠性研究

4．1 蒙特卡洛法基本原理

蒙特卡洛法又称随机模拟法或统计试验法，是一种依据统计抽样理论，利用计算机研究随机变量的数值计算方法。

蒙特卡洛法是从概率的角度出发求解失效概率的，它从同一母体中抽取简单子样来做抽样试验。根据简单子样的定义，若随机事件A发生的概率p（A），在N次独立试验中，事件A发生的频率数为M，令X1，X2，…，Xn是相互独立的随机的独立变量，由切贝雪夫大数定理可知，当N足够大时收敛于而频率收敛于p（A）。这就是蒙特卡洛法的理论基础，原理简单、概念明确。用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，需要进行大量的统计试验，通过抽样试验的方法得到该事件出现的频率。随着高速电子计算机的发展，为蒙特卡洛方法提供了强有力的模拟计算工具，在工程界的应用越来越广。

4．2 有限差分强度折减法中蒙特卡洛思想实现

蒙特卡洛法应用到边坡工程的基本思想是先建立边坡的功能函数和极限状态方程（见式9），本文直接将强度折减安全系数Fs为功能函数，产生符合分布函数变量的一组随机数x1，x2，…，xn，把它带入状态函数Fs＝g（x1，x2，…，xn）计算状态函数的一个随机数值F*，确定其在基本变量空间中属于破坏区还是安全区，即F*与1．3的关系，当F*＞1．3时，认为安全；F*≤1．3时，发生破坏。如果在N次模拟中M次落在破坏区，当N足够大时，此时的频率已近似于概率，得到边坡的破坏概率

蒙特卡洛法不需要将岩体参数的概率分布函数代入本构方程、几何方程、平衡方程进行力学推导，即无需微分、积分求解，它通过建立数学模型，进行大量简单、重复的抽样模拟试验，蒙特卡洛法最大优点在于不论极限状态方程如何复杂，只要有足够多的模拟次数，随机数序列足够大，就能得到一个相对精确的失效概率值。

本文基于蒙托卡洛法基本思想，在结合有限差分强度安全系数的计算流程基础上，通过采用flac3d内置语言fish编制程序［13］，使边坡可靠度分析得以实现。详细流程见图2。

图2 蒙特卡洛边坡可靠性分析流程Fig．2 Process of slope reliability analysis using Monte Carlo method

5 算例分析

5．1 简单均质边坡模型

为便于计算讨论，假定某边坡高度12m，边坡坡顶至坡脚水平距离为10 m，假定边坡岩体粘聚力c服从均值uc＝38 kPa方差σc＝0．3的正态分布，内摩擦角φ服从均值uø＝22°方差σø＝0．3的正态分布，变形模量E0＝800 MPa，泊松比为0．3。见图3。

5．2 数值计算模型

本次模拟主要任务是进行蒙特卡洛法边坡可靠性分析。因此，综合考虑计算机模拟速度及模拟计算结果精确性等各方因素，在数值模型建模过程中进行了以下细化（图3）：第一，按平面应变问题来考虑；第二，为了较准确获得安全系数大小，强度折减法精度控制在0．02；第三，边坡模型底部、左右边界、前后边界施加法向位移约束；第四，整个数值模型区域材料属性值相同；第五，为了较准确获得边坡稳定概率，模拟次数分别为200，500，1 000。

图3 算例边坡模型Fig．3 Slopemodel of calculation case

5．3 计算结果可靠性分析

数值计算的步骤为：根据粘聚力c及内摩擦角φ概率分布特征随机产生N组计算方案（c1，φ1），（c2，φ2），…，（cN，φN），然后将N组强度参数代入有限差分强度折减法模型进行计算，各安全系数结果见图4至图6及表1。

图4 N＝200安全系数频率直方图Fig．4 N＝200 frequency histogram of safety factors

图5 N＝500安全系数频率直方图Fig．5 N＝500 frequency histogram of safety factors

图6 N＝1 000安全系数频率直方图Fig．6 N＝1 000 frequency histogram of safety factors

表1 安全系数概率分析表Table 1 Probability analysis of safety factors

由图4至图6可知，此算例边坡安全系数均值为1．696 1～1．702 5，破坏概率为3．8%～5%，不同试验次数下安全系数任近似服从正态分布。表1显示，随着试验次数的增加，安全系数均值及破坏概率变化不大，当试验次数达到1 000时，安全系数均值及破坏概率基本不再变化。故可认为该算例边坡安全系数为1．7，破坏概率为5%，该边坡稳定概率为95%。

6 结 论

传统上，一直以安全系数作为边坡工程稳定性的评价指标，然而，安全系数不是一个常数，而是一个由设计因素的变异性所决定的随机变量。本文在阐述边坡可靠性分析原理的基础上，提出了集强度折减、蒙特卡洛思想于一体的边坡可靠度分析方法，

并利用FLAC3D软件的内置语言fish使其在程序上得到了实现。经算例可靠性分析，验证了该方法的有效性。同时，该方法为边坡可靠性分析的理论与工程实践提供了一条新的途径，具有广泛的应用前景及一定的参考价值。

［1］ 王云鹏，杨胜利．露井联采边坡稳定性影响因素分析［J］．煤炭工程，2009，（12）：75－78．（WANG Yun-peng，YANG Sheng-li．Analysis on Influence Factors of Slope Stablility for Surface Mining and Underground Min-ing Combination［J］．Coal Engineering，2009，（12）：75－78．（in Chinese））

［2］ 梅松华，赵海斌，刘路平．拓溪水电站开关边坡变形分析［J］．矿冶工程，2007，27（2）：5－10．（MEISong-hua，ZHAO Hai-bin，LIU Lu-ping．Slope Deformation Analy-sis of Switch Station of Zhexi Hydropower Station［J］．Mining and Metallurgrical Engineering，2007，27（2）：5－10．（in Chinese））

［3］ 贾厚华，贺怀建．边坡稳定模糊随机可靠度分析［J］．岩土力学，2003，24（4）：657－660．（JIA Hou-hua，HE Huai-jian．Analysis of Fuzzy-Random Reliability of Slope Stability［J］．Rock and Soil Mechanics，2003，24（4）：657－660．（in Chinese））

［4］ 陈祖煜．土质边坡稳定分析——原理·方法·程序［M］．北京：中国水利水电出版社，2003．（CHEN Zu-yu．Stability Analysis for Soil Slope——Principle，Meth-od，Process［M］．Beijing：China Water Power Press，2003．（in Chinese））

［5］ 刘艳章．边坡与坝基抗滑稳定的矢量和分析法研究［D］．武汉：中国科学院武汉岩土力学研究所，2007．（LIU Yan-zhang．The Stereo-Analytical Method Used in the Stability Analysis of a Dam on Layered Rock Founda-tion and Slope［D］．Wuhan：Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，2007．（in Chi-nese））

［6］ 祝玉学．边坡可靠性分析［M］．北京：冶金工业出版社，1993．（ZHU Yu-xue．Slope Reliability Analysis［M］．Beijing：Metallurgical Industry Press，1993．（in Chi-nese））

［7］ 谭晓慧．边坡稳定可靠度分析方法的探讨［J］．重庆大学学报（自然科学版），2001，24（6）：40－44．（TAN Xi-ao-hui．Discussion of Reliability Analysis Methods of Slope Stability［J］．Journal of Chongqing University（Nat-ural Science Edition），2001，24（6）：40－44．（in Chi-nese））

［8］ 苏永华，赵明华，邹志鹏，等．边坡稳定性分析的Sar-ma模式及其可靠度计算方法［J］．水利学报，2006，37（4）：457－463．（SU Yong-hua，ZHAO Ming-hua，ZOU Zhi-peng，et al．Sarma Model for Slope Stability Analysis and Its Reliability Degree Calculation Method［J］．Journal of Hydraulic Engineering，2006，37（4）：457－463．（in Chinese））

［9］ 赵尚毅，郑颖人．用有限元强度折减法求边坡稳定安全系数［J］．岩土工程学报，2002，24（3）：343－346．（ZHAO Shang-yi，ZHENG Ying-ren．Analysis of Safety Factor of Slope by Strength Reduction FEM［J］．Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24（3）：343－346．（in Chinese））

［10］郑颖人，赵尚毅．有限元强度折减法在土坡与岩坡中的应用［J］．岩石力学与工程学报，2004，23（19）：3381－3388．（ZHENG Ying-ren，ZHAO Shang-yi．Ap-plication of Strength Reduction FEM in Soil and Rock Slope［J］．Chinese Journal of Rock Mechanics and Engi-neering，2004，23（19）：3381－3388．（in Chinese））

［11］贡金鑫，魏微微．工程结构可靠性设计原理［M］．北京：机械工业出版社，2007．（GONG Jin-xin，WEIWei-wei．Principle of Reliability Design in Engineering Struc-tures［M］．Beijing：Machinery Industry Press，2007．（in Chinese））

［12］欧湘萍，白 凯，朱云升．基于FLAC－3D的强度折减法边坡稳定性分析［J］．武汉理工大学学报，2009，31（9）：59－61．（OU Xiang-ping，BAI Kai，ZHU Yun-sheng．The Strength Reduction Method for Stability Anal-ysis of Slope Based on FLAC－3D［J］．Journal ofWuhan University of Technology，2009，31（9）：59－61．（in Chi-nese））

［13］Itasca Consulting Group Inc．．FLAC3D（Version 2．1）Users Manual［R］．［S．l．］：Itasca Consulting Group Inc．，2003．

（编辑：曾小汉）

Analysis of Slope Reliability by Finite-Difference Strength-Reduction M ethod Considering the Thought of M onte Carlo M ethod

CHEN Xin1，FU Jian-jun2，ZHAO Hai-bing2，HUANG Tai-ping2，SHIKai3
（1．Wuhan Institute of Shipbuilding Technology，Wuhan Hubei 430050，China；2．Mid-South Design and Research Institute，China Hydropower Engineering Consulting Group Co．，Changsha，Hunan 410014，China；3．Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China）

Reliability analysis is one of the hot topics in the research of slope engineering．The authorsmainly ana-lyzed slope reliability based on finite-difference strength-reduction method considering the thought of Monte Carlo method．The principle and statisticalmodel of slope reliability analysis are elaborated at first．Second，the finite-difference strength-reduction method and the thought of Monte Carlo method are summarized，then the thought of Monte Carlomethod is introduced into the finite-difference strength-reductionmodel．Based on this，numerical cal-culation of themodelwas realized and the corresponding calculation program was developed by FISH language built-in FLAC3D．Finally，safety factor of a slope，whose rock massmechanical parameter followed normal probability distribution，is calculated．The calculation resultswere analyzed statistically and its reliability is evaluated．

reliability analysis；strength-reduction method；Monte Carlomethod；normal probability distribution

TU443

A

1001－5485（2011）04－0036－05

2010-04-30

陈 欣（1976-），女，湖北武汉人，副教授，主要从事土木工程教学与研究，（电话）13407162229（电子信箱）26719402＠qq．com。