三次抛物线形渠道断面收缩水深的计算公式

冷畅俭，王正中

（西北农林科技大学水工程安全与病害防治研究中心，陕西杨凌 712100）

三次抛物线形渠道断面收缩水深的计算公式

冷畅俭，王正中

（西北农林科技大学水工程安全与病害防治研究中心，陕西杨凌 712100）

三次抛物线形断面渠道收缩水深的计算需求解高次隐函数方程，不容易求解，传统的图解法或者试算法计算过程复杂，精度较低，不便于工程实际应用。通过对三次抛物线形断面渠道收缩水深的基本方程进行适当处理，得到了快速收敛的迭代公式，再与合理的迭代初值配合使用，得到三次抛物线形渠道断面收缩水深的计算公式。误差分析及实例计算表明，在一般工程常用范围内，收缩水深的最大相对误差仅为0．16，计算公式形式较简捷、精度较高、适用范围比较广。

三次抛物线；渠道；收缩水深；计算

1 概 述

近十多年来，在渠道的临界水深和正常水深计算方面取得了重要成果［1－8］，在收缩水深计算方面成果亦不少，尤其是矩形断面、梯形断面和圆形断面已有多种计算公式［9－14］，而抛物线形断面渠道的研究文献相对较少。文献［15］对半立方抛物线形断面渠道收缩水深进行拟合得到近似计算公式，而文献［16，17，18］分别给出了二次抛物线的解析式及近似公式，但对三次抛物线形渠道收缩水深的研究还没有文献报道。三次抛物线渠道断面与二次抛物线形相比，断面更接近喇叭口形U形断面，渠道轮廓线形流畅，水流条件更好，且具有抗冻胀优点，在水利水电以及灌溉排水工程中广泛应用。但其收缩水深的基本方程为高次隐函数方程，对于工程设计人员来说不容易求解，通常使用的试算法、图解法十分繁琐，而且精度不高，为此，该文从三次抛物线形断面渠道收缩水深的基本方程入手进行分析，通过对收缩水深基本方程进行适当变形处理，试图得到收缩水深的快速收敛的迭代公式，再根据优化拟合原理来取得迭代计算的合理初值，使迭代计算的收敛速度更快。通过迭代公式与合理初值的联合运用，期望得到收缩水深的直接计算公式，以满足工程设计需要。

2 渠道收缩水深的迭代公式

渠道收缩水深的基本方程为［19］

式中：E0为以收缩断面底部为基准面的泄水建筑物上游总水头（m）；hc为收缩断面水深（m）；Q为下泄流量（m3／s）；g为重力加速度（m／s2）；φ为流速系数；Ac为三次抛物线形渠道断面面积（m2）。

设三次抛物线形断面的曲线方程为

其断面如图1所示。

图1 三次抛物线形渠道断面Fig．1 Channel cross section w ith cubic parabola

则三次抛物线渠道过水断面面积为

设无量纲收缩水深

将式（3）、（4）代入式（1）中，并整理得

设式（5）中

则得三次抛物线形渠道断面无量纲收缩水深α的迭代方程

3 迭代公式的收敛性证明

根据迭代理论［20］，方程x＝φ（x）的一个根为L，则迭代公式xi＋1＝φ（xi）收敛于L的条件是：在L的某一邻域︱x－L︱＜δ内︱φ＇（x）︱＜1，那么以该邻域内任一点为初值的迭代都收敛于L，因此，只要证明以上迭代函数的导数绝对值小于1，就可以证明该迭代函数是收敛的。

由式（7）得：

设

则

对式（10）求一阶导数得

将式（8）代入式（11）得

因为0＜α≤0．5，所以

根据迭代理论［20］，迭代式（7）对任意正数α均收敛。

4 迭代初值及收缩水深的计算公式

众所周知，对于迭代计算式来说，迭代式收敛速度的快慢主要取决2个因素，一是迭代函数，二是迭代初值，合理的迭代初值是迭代计算快速收敛的关键因素之一。

在α∈［0．01，0．5］范围内，对式（7）进行优化计算，得到式（7）的近似替代方程式

其中：

解一元二次方程式（14）得无量纲收缩水深初值

根据式（16）计算结果，由式（4）、（7）得三次抛物线形断面到收缩水深的直接计算公式

5 计算公式的误差分析

在工程常用范围内，给出无量纲收缩水深α＝0．01～0．5的值，根据式（8）、（15）、（16）、（7）再反求无量纲收缩水深及其相对误差。为简明起见，本文仅列出误差分析的部分值，结果见图2、图3，横坐标为无量纲收缩水深α，纵坐标为收缩水深的相对误差。

图2 初值误差Fig．2 The error of initial value

图3 迭代一次误差Fig．3 The error of once iteration

从图2和图3误差分析可知，在α∈（0，0．5］，无量纲收缩水深初值的最大相对误差e＜0．43%，迭代一次收缩水深的相对误差小于0．16%。

6 应用举例

已知闸前断面总水头E0＝15 m，通过流量Q＝162 m3／s，流速系数φ＝0．95，若采用三次抛物线形断面渠道，其方程为求闸后断面收缩水深hc。

依次由式（6），（15），（16），（4），求得hc＝3．000 352 m，本例收缩水深的精确解为3．003 480 m，用初值公式求得的收缩水深的相对误差为－0．104%。

为了更准确，可将α0代入式（17）中得：

经迭代一次计算，收缩水深的相对误差仅为－0．010%，精度均满足工程要求。

7 结 论

通过对收缩水深基本方程的变形处理，得到收缩水深的迭代计算公式，再根据优化原理对迭代方程进行优化计算取得迭代方程的替代方程，替代方程的解即为迭代方程的初值。在水利工程中，一般误差小于1%时即可满足工程要求，而该公式初值的最大误差为0．43%，迭代一次最大误差小于0．16%，工程设计人员可根据具体情况应用公式。误差分析和应用举例表明，提出的计算公式在工程常用范围内精度很高，而且计算公式简单，适用范围也比较广，完全满足工程实际要求。该公式的提出，对采用三次抛物线形断面渠道收缩水深的计算提供了简捷方便的途径。

［1］ WANG Zheng-zhong．Formula for Calculating Critical Depth of Trapezoidal Open Channel［J］．Hydr Eng，ASCE，1998，124（1）：90－92．

［2］ SWAMEE PK，RATHIE PN．Exact Equations for Criti-cal Depth in Trapezoidal Canal［J］．Irrig Drain Eng，2005，131（5）：474－476．

［3］ PRABHATA K S，WU S，KATOPODISC．Formula for Calculating Critical Depth of Trapezoidal Open Channel［J］．Hydr Engrg，1999，125（7）：785－786．

［4］ SRIVASTAVA Rajesh．Exact Solutions for Normal Depth Problem［J］．Journal of Hydraulic Research，2006，44（3）：427－428．

［5］ SWAMEE P K，RATHIE P N，Achour B，et al．Exact Solutions for Normal Depth Problem［J］．Journal of Hy-draulic Research，2006，44（5）：715－717．

［6］ SWAMEE P K，RATHIE P N．Exact Solutions for Nor-mal Depth Problem［J］．Journal of Hydraulic Re-search，2004，42（5）：541－547．

［7］ MOHAMMED A I Y．Computation of Normal Depth in Open Channels［J］．Engineering Journal of University of Qatar，1998，11：133－151．

［8］ KANANI1 A，BAKHTIARIM，BORGHEI SM，et al．Evolutionary Algorithms for the Determination of Critical Depths in Conduits［J］．Irrig and Drain Engrg，ASCE，2008，134（6）：847－852．

［9］ 王正中，雷天朝，宋松柏，等．梯形断面收缩水深计算的迭代法［J］．长江科学院院报，1997，14（3）：15－18．（WANG Zheng-zhong，LEI Tian-chao，SONG Song-bai，et al．An Iterative Method Calculating Water Depth at Vena Contraction in Trapezoidal Cross Section［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Insti-tute，1997，14（3）：15－18．（in Chinese））

［10］王正中，雷天朝．矩形断面收缩水深简捷计算公式［J］．人民长江，1996，27（9）：45－46．（WANG Zheng-zhong，LEITian-chao．A Formula for Quickly Cal-culatingWater Depth at Vena Contraction in Rectangular Channel Flow［J］．Yangtze River，1996，27（9）：45－46．（in Chinese））

［11］赵延风，王正中，芦 琴．梯形断面收缩水深的直接计算公式［J］．农业工程学报，2009，25（8）：24－27．（ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，LU Qin．For-mula for Direct Calculation of Contracted Depth of Chan-nelwith Trapezoidal Section［J］．Transactions of the Chi-nese Society of Agricultural Engineering，2009，25（8）：24－27．（in Chinese））

［12］赵延风，王正中，孟秦倩．无压流圆形断面收缩水深的近似计算公式［J］．三峡大学学报（自然科学版），2009，31（1）：6－8．（ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，MENG Qin-qian．An Approximate Calculation Formula of Contracted Water Depth in Free Flow Circular Cross-Section［J］．Journal of China Three Gorges Univer-sity（Natural Sciences），2009，31（1）：6－8．（in Chi-nese））

［13］赵延风，王正中，孟秦倩．矩形断面收缩水深的直接计算方法［J］．人民长江，2008，39（8）：102－103．（ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong．MENG Qin-qian．Formula for Direct Calculation of Contracted Depth of Rectangular Channel［J］．Yangtze River，2008，39（8）：102－103．（in Chinese））

［14］刘善综．矩形收缩断面水深三角公式［J］．江西水利科技，1998，24（1）：40－41．（LIU Shan-zong．Trigono-metric Formulas for Calculation of Contracted Depth of Rectangular Channel［J］．Jiangxi Hydraulic Science＆Technology，1998，24（1）：40－41．（in Chinese））

［15］文 辉，李风玲．立方抛物线断面渠道收缩水深的直接计算方法［J］．人民长江，2009，40（13）：58－59．（WEN Hui，LIFeng-ling．Formula for Direct Calculation of Contracted Depth of Cubic Parabola Channel［J］．Yangtze River，2009，40（13）：58－59．（in Chinese））

［16］文 辉，李风玲．抛物线形断面渠道收缩水深的解析解［J］．长江科学院院报，2009，26（9）：32－33．（WEN Hui，LI Feng-ling．Analytical Solution of Water Depth in Parabolic-Shaped Channel with Contracted Sec-tion［J］．Journalof Yangtze River Scientific Research In-stitute，2009，26（9）：32－33．（in Chinese））［17］芦 琴，王正中，任武刚．抛物线形渠道收缩水深简捷计算公式［J］．干旱地区农业研究，2007，25（2）：134－136．（LU Qin，WANG Zheng-zhong，RENWu-gang．A Formula for Quickly CalculatingWater Depth at Vena Con-traction in Parabola Form Channel［J］．Agricultural Re-search in the Arid Areas，2007，25（2）：134－136．（in Chinese））

［18］赵延风，宋松柏，孟秦倩．抛物线形断面渠道收缩水深的直接计算方法［J］．水利水电技术，2008，39（3）：36－37．（ZHAO Yan-feng，SONG Song-bai，MENG Qin-qian．A Direct Calculation Method forWater Depth in Par-abolic-Shaped Channelwith Contracted Section［J］．Water Resources and Hydropower Engineering，2008，39（3）：36－37．（in Chinese））

［19］清华大学主编．水力学（修订本）上册［M］．北京：高等教育出版社，1980．（Tsinghua University．Hydraulics

［M］．Beijing：Higher Education Press，1980．（in Chi-nese））

［20］关 治，陈景良．数值计算方法［M］．北京：清华大学出版社，1990．（GUAN Zhi，CHEN Jing-liang．Value Computational Method［M］．Beijing：Tsinghua University Press，1990．（in Chinese） ）

（编辑：刘运飞）

Formula for Calculating Contracted W ater Depth of Channel w ith Cubic Parabola Cross Section

LENG Chang-jian，WANG Zheng-zhong
（Research Center ofWater Engineering Safety and Disaster Prevention，Northwest A＆F University，Yangling Shaanxi 712100，China）

The equation for calculating contracted water depth of a channel with cubic parabola cross section is a higher order implicit function equation which is not easy to solve．Due to the complex computation process and low-er precision of calculation result，neither traditional graphicmethod nor trial calculation approach is convenient for practical application．In this paper，iterative formula with fast convergence for computing contracted water depth of a channel with cubic parabola cross section was obtained through proper transformation on basic equation．The iter-ative formula combined with rational initial iteration value was developed for calculating contracted water depth of a channel with cubic parabola cross section．Error analysis and calculation example indicate that，within the general engineering range，themaximum relative error of this formula is only 0．16%．The formula in this paper can pro-vide a wide application with its simple form and relatively higher precision．

cubic parabola；channel；contracted water depth；calculation

TV131．4

A

1001－5485（2011）04－0029－03

2010-05-25

国家“863”高技术研究与发展计划项目（2002AA62Z3191）；陕西省水利科技专项计划项目（2006－01）

冷畅俭（1966-），男，四川大竹人，研究员，博士研究生，主要从事农业水土工程研究，（电话）029-87080009（电子信箱）lengcj2000＠yahoo．cn。

王正中（1963-），男，陕西彬县人，教授，博士生导师，从事水工水力学研究，（电话）029-87082980（电子信箱）wangzz0910＠yahoo．com．cn。