数学课中的题组教学

●牟正道 (路桥区教师进修学校 浙江台州 318050)

如何提升课堂教学效率，是经久不衰的热点课题.衡量课堂教学效率的高低虽然有许多不同的指标体系，但是否能激发学生的学习兴趣、提高学生的思维能力和充分利用教学时间却是最基本也最重要的3个方面.题组教学是将若干个具有某些共同属性或有某种相关联系的问题并成一组或串成一串、从上到下一个问题接着一个问题、一环紧扣一环、一气呵成的教学方法.在中学数学课堂教学中，利用题组教学可以较好地提升课堂教学效率.

1 激发学生的学习兴趣

兴趣是一个人力求接触、认识、掌握某种事物和参与某种活动的心理倾向，是学生学习积极性中一个最积极、最活跃的心理因素.利用数学题组，使整个教学过程保持紧密联系，一环紧扣一环，在学生思维的最近发展区层层递进，使学生对数学学习始终保持浓厚的兴趣，避免产生倦怠和厌烦，自觉、积极、主动地进行学习和探索.

求证这组题是简单的，只须分别令a=b=1;a=1，b=2;a=1，b=-1和a=1，b=i就得到了上述等式.这个题组从简单到复杂，逐渐递进，学生不会感到只是简单的重复，因为证明了上述4个等式后，学生会受到启发，在遇到求证类似的等式时就会想到利用二项式定理去尝试.特别对二项式定理中的a，b赋不同的值，得到不同的等式，学生会更感兴趣.如

继续赋予a，b不同的值，还可以编制出更多系列数学题组.更重要的是，学生通过编制题组，相互之间交换编制的题组和答案，还会发现许多有趣的题组，从而对二项式定理的应用有一个更深的认识.这样的效果，是采用互不相干的单个题进行教学很难获得的.

学生求知欲极强，渴望学好数学知识，为进一步学习以及将来的工作和生活打下良好的基础.但同时，他们又不喜欢灌输式教学，他们喜欢探究、创新、刺激.从心理学的角度看，在中学数学课堂教学中采用题组教学，符合学生的心理，能够不断地刺激学生，紧紧地吸引住学生，使他们不会因为数学的抽象而感到单调和乏味，始终保持旺盛的学习兴趣.

2 提高学生的思维能力

数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.在中学数学学习中，发散思维能使学生深入探究、不断拓展，化归思维能使学生举一反三、触类旁通.在数学课堂中采用题组教学，能较好地提高学生发散和化归的思维能力.

例2 (1)直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+10=0相交于2个不同点A，B，当k取不同的实数值时，求AB中点的轨迹;

(4)已知抛物线y2=4px(p＞0)，O为顶点，A，B为抛物线上2个动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.

解(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x，y)，则

因此，所求的轨迹是圆x2+y2-3x-2y=0在已知圆内的一段弧.

(2)设重心 P(x，y)，A(x1，y1)，则 A 是 OP 的定比分点，且

因为点A在已知椭圆上，所以所求的轨迹方程为

因为OA⊥OB，OM⊥AB，则M不为原点，所以，所求轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).

这4个问题虽然题设条件不同，所求的具体内容也不一样，但是，它们却有共同之处：都是求动点的轨迹方程，动点都在某条动直线上，而动直线都与已知圆锥曲线相交.因此，它们的解题思路是相同的，都是先设出所求点的坐标和动直线与已知圆锥曲线的交点坐标;然后根据已知条件，寻找所求点的坐标和动直线与已知圆锥曲线的交点坐标之间的关系，用所求点的坐标表示交点坐标;最后将交点坐标代入已知圆锥曲线方程化简后得解.这种方法可以推广到一般情况，即有些问题中的动点轨迹是由另一个动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标转移到另一个动点在运动中所遵循的条件中去就能解决问题.通过这一题组的教学，可以使学生掌握解决一类求轨迹问题的通法——转移法.这在单题教学中是很难有这样的教学效果的.从例2可知，题组教学有利于学生对形式各异的众多数学问题进行比较，发现它们之间的内在联系，寻找出数学问题和解决方法的规律，并进行有效的归类，从而提高化归思维能力，使学生从题海中跳出来，进行有效记忆和灵活运用，把更多的时间和精力放在探究和研讨上，学习更多的数学知识，达到更好的学习效果.

3 提高课堂时间利用率

数学课堂教学的时间十分宝贵，利用数学题组，可以减少教师板书、讲解和学生读题、审题的时间，能使教师的讲解一气呵成，从而充分利用时间，增大课堂容量.

例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知棱长为a.

(1)求直线A1B1与AD的位置关系和距离;

(2)求直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值;

(3)求平面ABD1和平面BCD1所成二面角的大小;

(4)求平面A1AD1和平面ABD1的位置关系;

(5)求证：异面直线C1D和BD1互相垂直;

(6)取A1D1的中点M，D1C1的中点N，DD1中点Q，求证：平面MNQ∥平面AB1C;

分析(1)由A1B1∥AB，AB⊥AD，知AA1是异面直线A1B1与AD的公垂线，从而A1B1与AD的距离为a.

(2)因为DD1⊥平面ABCD，所以BD为直线BD1在平面ABCD的射影，∠D1BD即为所求线面所成的角.又因为DD1=a，BD1=a，所以

故所求2个平面所成的角为120°.

(4)由AB⊥AD，AB⊥AA1，得AB⊥平面AD1A1，而AB⊂平面ABD1，于是平面AD1A1和平面ABD1互相垂直.

(5)由 BC⊥平面 CC1D1D，得 BC⊥C1D.又 C1D⊥CD1，则 C1D⊥平面 BCD1，于是 C1D⊥BD1.

(6)因为D1C1的中点为N，DD1的中点为Q，所以NQ∥C1D.又AB1∥C1D，得NQ∥平面AB1C.同理可得，MQ∥B1C，从而MQ∥平面AB1C，于是平面MNQ∥平面AB1C.

这个题组中第(1)小题的解题过程涉及直线与直线的平行、垂直，异面直线及其公垂线，2条直线之间的距离等概念和有关定理;第(2)小题涉及直线在平面的射影、直线与平面所成角、三角函数等有关知识;第(3)小题涉及直线与平面、直线与直线的垂直，二面角及其平面角，余弦定理等知识;第(4)小题涉及直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的有关概念和定理;第(5)小题涉及直线与直线、直线与平面垂直的有关定理;第(6)小题涉及三角形的中位线，直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的有关概念和定理;第(7)小题涉及直线与平面垂直，直线与直线垂直、平行，2条异面直线的公垂线、所成角以及距离等有关知识.通过这样一组题就可以把中学阶段立体几何中直线和平面关系的主要知识串成一串，使得画图和审题的时间大为减少.既能使教师的讲解一气呵成，又能在一节课内将立体几何的基本知识复习完毕;既能照顾到课堂教学时知识体系的完整性，又能减少分若干节课教学所带来的承上启下和小结所需的时间.因此，与互不相干的单题教学相比较，采用题组教学可以更充分地利用宝贵的数学课堂教学时间.

综上所述，在中学数学课堂采用题组教学，一环紧扣一环，层层递进，有利于激发学生的学习兴趣;有利于学生深入探究、不断拓展、举一反三、触类旁通，提高发散思维和化归思维能力;能减少板书、画图、读题、衔接等时间，更充分地利用课堂教学时间，增大课堂容量.因此，在中学数学课堂中采用题组教学，有利于提升教学效率.