摄像机标定算法研究

谢莉余胜

（湖南人文科技学院物理与信息工程系 湖南 娄底 417000）

0 引言

由摄像机拍摄的图像信息出发计算三维物体的几何信息，实现物体的三维结构重建是计算机视觉的基本任务之一[1]。摄像机标定是指建立空间物体表面某点三维几何位置与图像中对应点位置之间的关系。摄像机标定问题涉及到两组参数：用于刚体变换时，相对于世界坐标系的摄像机坐标的三维位置和方向的外部参数；摄像机自身所拥有的内部参数是指摄像机的内部光学和几何特性，包括图像中心、焦距、镜头畸变等。

1 摄像机模型和成像原理

1.1 图像坐标系

通过摄像机获取的图像在计算机中是以数组形式存储，数组中的每个元素（像素）值称为图像点的亮度。如图1所示，在图像中定义坐标系u-v，每一个像素点均有唯一坐标u-v来表示像素所在的行数和列数。即u-v是以像素为单位的图像坐标系坐标。由于直角坐标系u-v只表示了数字图像中像素所处的行数和列数，而没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置。因此，需要再建立以物理单位（如毫米）表示的坐标系x-y，（x，y）表示以毫米为单位的图像坐标系的坐标。

在x-y坐标系中，原点O1定义在摄像机光轴与图像平面的交点处，称为图像平面的主点(principal point)，理论上它应在图像的中心位置，但是由于制作工艺方面的原因，一般也会有些偏差。设O1在u-v坐标系中的坐标为（u0，v0），每一个像素在x轴和y轴方向上的物理尺寸大小为dx，dy，则在图像中每一个像素在两个坐标系下的坐标有以下关系：

其中γ′为斜度因子，表示u轴和v轴的不垂直程度。理想情况下u轴和v轴相互垂直，即γ′等于0。

1.2 摄像机坐标系

图2所示为摄像机成像的几何关系。其中点O称为摄像机光心，Xc轴和Yc轴分别与图像的x轴与y轴平行，Zc轴为摄像机的光轴，它与成像平面垂直。光轴和图像平面的交点，即为图像坐标系的原点。由光心O与Xc，Yc和Zc轴组成的坐标系称为摄像机坐标系。摄像机焦距为OO1。

1.3 世界坐标系

在我们所处的真实环境中，还需选择一个参考坐标系来描述三维空间中物体之间的位置关系，称之为世界坐标系。摄像机坐标系和世界坐标系可以通过旋转矩阵R和平移向量t来描述，空间点A在世界坐标系与摄像机坐标系下的齐次坐标分别为：（Xw，Yw，Zw，1）T、（Xc，Yc，Zc，1）T，那么将有如下关系：

其中，R为 3×3正交旋转矩阵；t为三维平移向量；0=（0，0，0）T；M 是 4×4 矩阵，为两个坐标系之间的变换矩阵。

1.4 针孔摄像机模型

在计算机视觉中，场景中的空间点与其在图像中的成像点之间的相互关系，是由摄像机成像几何模型来确定的。

针孔模型的物理意义相当于薄透镜成像，该模型最大的优点是成像关系是线性的。它简单实用，其准确度高，在计算机视觉中广泛使用。如图2所示，三维空间中任意一点A在图像上的成像位置可用针孔模型来近似表示，即图像点a是空间点A和光心O的连线与成像平面的交点。由比例关系有如下关系式：

其中，（x，y）是 a 点的图像坐标，（Xc，Yc，Zc）为空间点 A在摄像机坐标系中的坐标。用齐次坐标与矩阵可表示为：

把式（1）、（2）代入式（4）中，可以得到图像坐标与世界坐标之间的关系：

其中，α＝f/dx，β＝f/dy，γ=γ′f；H′是 3×4 矩阵， 称为投影矩阵； H1仅由 α，β，γ，u0，v0决定，因为 α，β，γ，u0，v0仅与摄像机内部结构有关系，所以称这些参数为摄像机内部参数；H2仅由摄像机相对于世界坐标系的方位决定，称为摄像机外部参数。

由此可知，摄像机标定的过程也就是求解摄像机外部参数和内部参数的过程。

2 两种摄像机标定算法

图1 图像坐标系

图2 图像坐标系与世界坐标系

图3 标定图像图

图4 角点提取

2.1 Tsai两步法

Tsail[2]提出用两步法对摄像机进行标定，首先利用直接线性变换方法或者透视变换矩阵方法求解摄像机参数，再用求得的参数作为初始值，考虑径向畸变因素，并利用最优化算法进一步提高标定精度。在其标定算法中，CCD阵列中感光元的纵向和横向间距假定是己知的，具体数值由摄像机厂家提供。所假设的内、外部参数分别是：（1）f等效焦距；（2）k镜头畸变参数；（3）Sx非确定性尺度因子，它是由摄像机横向扫描与采样定时误差引起的；（4）（cx，cy）图像中心或主点；（5）R，T 三维空间坐标系与摄像机坐标系之问的旋转矩阵和平移向量。但Tsai两步法只考虑了径向畸变，没有考虑切向畸变,这与实际情况有较大的偏离，限制了标定精度的进一步提高。

2.2 张正友标定算法

由于传统标定方法需要价格昂贵的高精度标定设备，张正友在1999年提取了一种简单、灵活、实用的摄像机标定方法[3]。该方法只需要摄像机对一标定板在不同方向进行拍照，摄像机与标定板间可以自由地移动，运动的参数无需已知，对每个视点获得图像，提取图像上网格的角点；标定板与图像的网格角点对应关系，确定了单应性矩阵，对每幅图像,就可确定一个单应性矩阵，这样就能够进行摄像机定标。该算法先有一个线性解法,然后基于极大似然准则对线性结果进行非线性优化求精，而标定板的运动方式不必知道。通过对2D信息的提取计算来得到最终的结果。

3 实验结果

本文所标定相机型号为三星S860，选用7×10棋盘格式的标定纸，每一方格的宽度为23mm，用相机从不同角度获取12幅图像(653×490)。本文采用文献[4]提供的MATLAB工具箱实现张正友标定算法。图3显示了拍摄的12幅棋盘图像，图4为其中一幅标定图像的角点提取情况。

实验结果所得到的摄像机内部参数为：焦距：[219.06267,229.50868]，主点：[326.00000，244.50000]。

畸变：[-1.94496，1.04910，-0.03290，-0.20754，0.00000]±[0.49090，2.75113，0.01008，0.09371，0.00000]。

斜度因子：0。

4 结论

本文分析了摄像机的模型和成像原理，对比分析了张正友标定方法和Tsai两步法的标定原理。通过MATLAB工具箱所做标定实验验证了张正友标定法是一种简单、易于实现的且有较高精度的摄像机标定方法。

［1］Yong J Y,Qi D Z.Camera Calibration in Binocular Stereo Vision of Moving Robot[C].The sixth world congress on intelligent control and automation,Dalian,China,2006:9257－9621.

［2］Tsai R Y.A versatile camera calibration technique for high accuracy 3D machine vision metrology using off-the-shelf TV camera and lenses[J].IEEE journal of robotics and automation,1987,3(4):323－344.

［3］Zhang Z Y.A flexible new technique for camera calibration[J].IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence,2000,22(11):1330－1334.

［4］Jean Y B.Camera Calibration Toolbox for Matlab [EB/OL].［2009-12-28］ （2008-6-2）.http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc/index.html#examples.