四原子Tavis-Cummings 模型中两体及多体纠缠的研究

吴坤华，张建松，张小青，王 洵

（1.华东交通大学应用物理系，江西南昌330013；2.北京建筑工程学院，北京100044）

众所周知量子纠缠是量子信息发展过程中重要的量子资源之一，它是众多量子协议得以实现的重要依托[1-2]，而QED腔提供一个很好的操控量子纠缠和展示量子信息过程的平台[1-4]。其中，J-C模型[5]就是人们最熟悉和引用最广的场与原子相互作用的模型之一，J-C模型展示的是量子化的场与量子化的二能级原子之间相互作用之间的全量子化过程。拥有很多纯量子化特性，如：Rabi震荡下的塌缩与复活；场的压缩；光子反群聚等在J-C模型都有很好的展示[6-7]。

该文探讨的主要内容是Tavis-Cummings（简称T-C）模型[8]下4个二能级原子之间纠缠的演化情况。T-C模型主要描述的多个二能级原子与单模场之间相互作用[6-7]。它可运用于量子信息过程和加深对基础量子力学的理解[2，8]。在文献[9]中，作者就运用tangle运算方法对两原子的T-C模型的量子纠缠进行了探讨和研究。这里将对四个二能级原子在一个光学腔中的相互作用情况进行讨论，主要是对不同原子之间相互作用和原子与场之间相互作用的探讨。假设所有原子开始都处于基态，腔场处于粒子数态。首先，将讨论如何获得量子化系统；其次，将运用concurrence和tangle对系统在两两相互作用情况下的纠缠进行计算；最后，将讨论在一定条件下，原子与腔场相互作用时系统量子态的表示（W态）。

1 模型的选择和讨论

在旋波近似情况下，4个二能级原子在T-C模型下的哈密顿量可表示为[8-10]：（文章中取 h=1）

式中：gi为场和原子之间相互作用的系数；为原子的上升算符；σi-为原子的下降算符；wi为二能级原子的跃迁频率；a+，a为原子的产生和湮灭算符；w为腔场的频率。系统模型为4个二能级原子与1个单模腔场的相互作用系统，其中原子间距离足够大，因此原子间相互作用可忽略。如图1。

图1 四个二能级原子与一个单模场相互作用系统Fig.1 Interaction system of four two-level atoms and a single-mode field

下面，将对系统做一定的假设，以便有利于系统的计算，假设原子的跃迁频率与腔场的固有频率相等；原子与原子之间的相互作用系数和原子与腔场之间的作用系数相等，即w=wi，g=gi。因此，系统的哈密顿量可表示为

2 concurrence和tangle的运算及比较

由运动方程和系统的初始态情况可知[11]，系统任意时刻t的量子态表示为

由于能量守恒定律（即旋波近似情况下），在这里省略了快变量项eiw/2。（在运算式中，用大写字母C表示concurrence的值）

下面，将对该系统运用concurrence进行纠缠度量的运算，由concurrence得定义为[12]

式中：λi(i=1，2，3，4)为约化密度算符本征值平方根，且当 λ1≥λ2≥λ3≥λ4时，反转自旋约化密度算符 R 为

σy表示Pauli矩阵算符，有，而且，约化密度矩阵可表示为

（*表示复合函数的复共轭）在这种情况下concurrence可以表示为

首先，对腔场与第i原子之间的纠缠情况予以分析，在约化掉其他原子的情况下，可以得到腔场与第i原子之间的约化密度矩可以表示为

这里a1(t)=cos(2gt)；a2(t)=-isin(2gt)/2，联立（8）（9），腔场与原子i之间相互作用concurrence表达式可写为

原子i与原子 j之间相互作用的约化密度矩阵可表示为

同上，原子i与 j原子之间相互作用concurrence表达式可表示为下面，对Cfa1(t)和Caiaj(t)随时间t的变化进行作图，并进行对比分析，如图2所示。

图2 ConcurrenceCfa1(t)和Caiaj随时间t在弱相互作用下(0＜g＜1)时演化情况Fig.2 Evolution of concurrenceCfa1(t)andCaiajwith time t in weak interaction region(0＜g＜1)

由图2可以看出，随着相互作用系数g的不断加强，在一个周期内，腔场与原子之间的concurrence Cfa1(t)出现不稳定的变化，且变化周期越来越小；然而，原子与原子之间的concurrenceCaiaj(t)非常稳定，这也就是说在该系统中不管相互作用系数g如何变化，原子与原子之间的concurrenceCaiaj(t)不变。

现在，对该系统运用tangle运算方法来探讨该系统中多体纠缠之间的关系，这种运算方法首先由Coffman，Kundu和Wootters提出[13]，主要观点是：系统中某一粒子或腔场与系统中其他粒子或腔场组成的整体之间的纠缠关系，并且讨论了系统的纠缠分配情况。在tangle中某一qubit与系统其他部分（rest）的关系可以表示为[10]

其中ρ1是系统中原子1的约化密度矩阵。由tangle定义可知只有整个系统处于纯态时，才可运用其对系统进行运算。由（4）（13）可以得出在约化腔场后的表达式：

同理，可以得出在约化任一原子后得tangle表达式：

下面，将对τf，(a1a2a3a4)(t)和τa1，(fa2a3a4)(t)的tangle函数随时间t变化进行画图，并对它们的图线进行对比和分析。如图3所示。

从图3（a）tangle τf，(a1a2a3a4)(t)和图3（b）τa1，(fa2a3a4)(t)随时间 t及相互作用系数 g 的演化图像中，可以知道随 着 g 的 变 化 τf，(a1a2a3a4)(t)的 周 期 变 化 比 τa1，(fa2a3a4)(t)周 期 变 化 要 快 ，且 还 可 以 看 出τa1，(fa2a3a4)(t)≥ τf，(a1a2a3a4)(t)。由图2和图3，可以看出 τf，(a1a2a3a4)(t)，τa1，(fa2a3a4)(t)都大于 Cfa1(t)，Caiaj(t)。而且，可以得出 τf，(a1a2a3a4)(t)≥ Cfa1(t)≥C2fa1(t)和 τa1，(fa2a3a4)(t)≥ Caiaj(t)≥ C2aiaj(t)，结果与文献[13]相符，由推导可以得出：

图3 Tangle τf，(a1a2a3a4)(t)和tangle τa1，(fa2a3a4)随时间 t及相互作用系数 g 的演化情况Fig.3 Chang of tangle τf，(a1a2a3a4)(t)and τa1，(fa2a3a4)(t)with time t and interacting constant g

这说明tangle运算过程中都是两体之间的纠缠，而不存在三体纠缠[13]。由文献[10][14]可以知道，腔场与原子及原子与原子之间的相互作用产生纠缠随原子数的增加concurrence和tangle都在不断变小，而原子之间相互纠缠的concurrence在各自系统中却保持不变。

值得注意的是在表达式（4）中，当表达式的第一项系数为0时，即当时间t满足以下条件时：

表达式（4）可表示为W态

这里运用了三角函数特性：当cos(2gt)=0时，sin(2gt)=1。从（17）式，由结果可以看出该式即为二能级原子系统的W态。也即在一定的条件下，W态可以由一个单模腔场与多个二能级原子相互作用系统来制备。

3 总结

主要讨论在T-C模型下，1个单模腔场与4个二能级原子之间的相互作用情况下的纠缠演化。通过运用concurrence和tangle对系统纠缠量进行了详细的计算和分析，两种方法的共同点是：原子之间的相互作用产生的纠缠明显大于或等于腔场与原子相互作用产生的纠缠，即Caiaj(t)≥Cfai(t)。然而这两种方法也有各自的特色，如：由concurrence可知，原子与原子之间的相互纠缠量并不随时间及它们之间的相互作用系数改变而改变，原子与原子之间相互纠缠相当稳定，因此对实际应用有很大的帮助。由tangle结果可知：场与原子之间的纠缠变化明显比原子与原子及场之间的纠缠的变化不相同，且τa1，(fa2a3a4)(t)≥τf，(a1a2a3a4)(t)；而且，当在一定条件下，可以使得单模腔场与多个二能级原子相互作用情况下制备W态。

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