大学数学中演绎体系与构造体系的链接及应对策略＊

张月莲，黄祖达，杨家兴

(湖南文理学院数学与计算科学学院，湖南 常德 415000)

大学数学中演绎体系与构造体系的链接及应对策略＊

张月莲，黄祖达，杨家兴

(湖南文理学院数学与计算科学学院，湖南 常德 415000)

从大学数学的视角，探讨了收敛性思维与发散性思维即演绎体系与构造体系的链接及相关的应对策略，试图找到学生的思维模式由演绎体系进入构造体系的适当的教学途径、教学手段、教学理念，以适应国家对高校人才培养目标的要求。

大学数学;演绎;构造;链接;策略

演绎与构造是数学思维体系中两个不同的方向，演绎注重逻辑，思维缜密，是收敛性思维。构造注重创建和模型，是发散性思维。中学阶段的数学课程多数是演绎的，而大学阶段的数学课程则是构造的。中学强化了演绎而大学强调构造，这是中学数学和大学数学的区别所在。

一、存在的问题

《欧氏几何》是以古希腊的毕达哥拉斯学派的一些几何学知识为基础而诞生并经过欧几里德及其他学者的不断修订和完善而形成的经典。明朝时期意大利传教士利马窦与我国的学者徐光启合译了前六卷。徐光启对这部著作给予了高度的评价，称此书有四不必:“不必疑，不必揣，不必试，不必改。”有四不可得:“欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，鹅欲前后更置之不可得”［1］。这种智慧的演绎结果使人们认识到理性的力量，同时也增强了人们利用这种才能获得成功的信心。它让我们认识到逻辑的缜密，论证的准确，演绎的完美以及演绎带给我们的精确与权威。也因此我们认为数学是绝对的真理，是不容质疑的，是没有缺憾的，我们在不知不觉中强化着这种演绎。

但每个学科是不断发展不断变化的，数学也不利外。十七世纪微积分的出现使数学发生了一次革命，极大地拓展了数学的研究和使用范围，当然也改变着人们的思维方式和处理问题的方法。于是当学生们进入大学阶段的时候，问题出现了。首先是思维方式的根本性转变，其次是处理的问题模型的根本性转变，就其本质是演绎和构造两种思维体系的转变。那么，用什么样的教学理念和教学方法引导和帮助学生调整思维结构以尽快适应大学阶段的数学学习，确实是一个值得探讨的问题，本文结合自己的教学实践作了一些探讨。

二、认识有限与无限

无穷大!任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神，任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力;但是没有任何概念比无穷大需要澄清(希尔伯特)［2］。无论多么小的一个具体的数都不是无穷小，而一个无论多么大的具体的数也不是无穷大，那么，何谓无穷小?何谓无穷大?可见，了解无限是一个至关重要的事情。

数学家说;数学是无限的科学。我们在有限的世界里也能够感觉到无限的存在，如自然数有多少个?不管你手中有多大的一个自然数，它总有后继数。自然数集包括平方数集作为子集，但自然数集可以与平方数集建立一一对应，这个对应说明了什么?是整体等于部分?还是矛盾?等等这些都是学生在有限中不曾碰到的问题。而在认识无限的过程中，常识有时是一个蹩脚的向导。因此，感知无限，解密无限，用无限的观点解决问题是转变学生思维体系的一个关键步骤。数学更严密地研究着有限和无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。获得把握无限的能力和技巧是人类的智慧。在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情是人类的情感，对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶［3］。而教师必须引导学生认识与了解无限，才能调整思维结构，进入大学数学的学习阶段。

三、理解极限

极限奠定了微积分，是微积分的基础。由于有了严格的极限的定义才使微积分日臻完善。而怎样引导学生认识极限，理解极限，运用极限又是一个思维体系的架构过程。函数的连续，函数的导数，定积分，二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分等等这些概念都是建立在极限的基础之上的，只有充分理解和合理应用了分割、求和、取极限这三部曲而建立的数学模型，充分地理解了这些抽象的数学知识，才能将这些具体的方法与实际的模型灵活地运用于其他相关的学科。在这里，取极限是一个量变到质变的过程，而怎样讲述极限这个非常重要的概念，也是思维体系的一个重大调整，是学生学习微积分的关键所在。

四、挖掘公式、定理背后的真理

数学学科当然离不开公式、定理，而正是公式和定理才构成了数学学科的灵魂。要引导学生挖掘这些公式、定理背后隐藏的真、善、美，了解一代代数学工作者为了探索真理而前仆后继的精神。在潜移默化中转变学生的思维方式，调整思维方法。如微积分中的微积分基本定理，为什么叫基本定理，它的基本性体现在哪里呢?它是否是万能的公式?它在什么条件下不能用?格林公式、高斯公式在其他学科中有更广泛的应用吗?其他学科是怎样使用的?又作了哪些调整，添加了什么，数学意义和物理意义分别是什么?等等。对于公式、定理不局限于课本的现有知识，通过介绍更多的背景知识，数学史知识，让学生眼中的公式、定理动起来，飞起来，让学生热爱公式，钻研公式，拓展公式，从而热爱数学，热爱科学。

五、结语

数学中的公理化体系一直是数学学科的骄傲。但以为数学教育就是对学生进行演绎训练，不仅是对数学学科的一个误解，也是十分有害的。纯粹的演绎具有单向思维的特点，其思维指向及大体线索都已清楚，其逻辑起点与依据也已清楚。因此很难由演绎获得开拓性的思维成果，很难由收敛性思维获得开创性的发现。只强调公理的作用，过分注重演绎思维(收敛性训练)而忽视数学的发散性思维。虽然现在大家都意识到了这一点，但并没有从根本上加以改变，这正是数学教育令人担忧的现状［3］。

要使学生具有竟争力，最关键的问题是培养他们的创新能力，而这种创新首先是从教师开始的，没有创新的教育理念，没有全新的文化视角，没有承前启后的治学态度，没有脚踏实地的、立足本国、放眼世界的雄伟目标，就没有朝气蓬勃、勇于创新的天之骄子。我们应该与学生同行，在大学这个广阔的舞台上，给他们一双腾飞的翅膀。同时也让学生欣赏数学、品味数学，领略和吸取数学千秋沧桑锻造出的不朽思想，了解数学是人类文明结晶出的伟大智慧。而不是继续着2000年前的欧氏几何，300年前的微积分，反复在黑板上演绎着永恒的公式与定理。因此本文从大学数学入手，探讨了演绎体系与构造体系的链接及相关的应对策略，试图找到学生的思维模式由演绎体系进入构造体系的适当的教学途径、教学手段、教学理念，以适应国家对高校的人才教学目标的要求。

［1］萧建昌.人文数学导引［M］.成都:西南交通大学出版社，2006.

［2］张顺燕.数学的美与理［M］.北京:北京大学出版社，2006.

［3］张楚廷.数学文化［M］.北京:高等教育出版社，2003.

2011－03－15

芙蓉学院教改项目

张月莲(1965－)，女，副教授。