常微分方程在数学建模中的应用

朱美玲

（太原理工大学，山西 太原 030024；太原城市职业技术学院，山西 太原 030027）

常微分方程在数学建模中的应用

朱美玲

（太原理工大学，山西 太原 030024；太原城市职业技术学院，山西 太原 030027）

本文简要介绍了常微分方程的发展和数学建模的过程以及常微分方程在数学建模中的一些应用，并对数学建模在数学教学中的地位和作用作了一些展望。

常微分方程；数学建模；数学应用

一、引言

常微分方程起源于生产实践，在解决科学技术的许多问题中发展并逐步完善。而用微分方程解决问题一般分为以下几步：第一，实际问题的提出；第二，根据问题的规律列出微分方程（称为建立数学模型）；第三，解此微分方程或对方程进行定性分析；第四，最后再用方程的解（或性质）解释或预测问题的发展，即用数学语言描述实际现象。这个过程其实就是数学建模，数学建模是微分方程解决实际问题的最主要的途径。

二、常微分方程的发展

常微分方程的发展有着悠久的历史。为了解决诸如某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离与时间的函数关系，火箭在发动机推动下在空间的飞行轨迹函数等等。为了解决此类问题产生了微分方程。含有未知函数及其导数的方程称之为微分方程。纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学、医学、生物学、力学等有着密切联系，尤其是随着科技的进步，电子计算机的广泛应用使得微分方程的应用日益广泛。

三、常微分方程在数学建模中应用

用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量。再根据有关学科的理论，如物理、化学、生物、几何、经济等，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来。为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数和微分表示几何量和物理量。如在几何中曲线切线的斜率对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度速度用数学语言将实际问题简化，用数学理论和数学方法分析和解决实际问题，最后再回到实际对象中应用。这些需要扎实深厚的数学功底，还需要有能抓住实际问题变化规律的能力。下面就几个简单的例子谈谈微分方程在数学建模中的应用。

1.常微分方程在物理学中的应用

一个包裹从一个上升的气球上掉落，当时气球位于离地面80m高空，正以12m/s的速度上升，问多长时间该包裹落到地面？设在时刻t，包裹的速度为v(t)，离地面的高度为s(t)，地球表面附近的加速度为9.8 m/s2。假设没有另外的力作用在下落的包裹上负号是因为重力作用于减小的方向）。这就是包裹运动的数学模型。对微分方程积分，得把初值条件代入v(0)=12得C=12。于是v=-9.8t+12。因为速度是高度的导数，即，当t=0时包裹掉落，当时位于离地面80m高空，从而有对微分方程积分，代入初值 s(0)=80得C=80。所以，在时刻t包裹离地面的高度为s=-4.9t2+12t+80。为了求该包裹落到地面的时间，我们设s=0，即 0=-4.9t2+12t+80 解得 t1≈5.45,t2≈-3。所以包裹从气球上掉落后大约5.45s落到地面。

2.水污染模型中的应用

随着我国经济的高速增长，环境污染问题已成为大家共km同关注的问题。设某水库的现有库存量为V（单位：Q

3），水库已被严重污染。经计算，目前污染物总量已达（0单位：t），且污染物均匀地分散在水中。如果现在不再向水库排污，清水以不变的速度（r单位：km3/年），流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度r流出。如果记当前的时刻为t=0。那么求在时刻T，水库中残留污染物的数量Q(t)。在时刻t，Q(t)的变化率=-（污染物的流出速度）。其中负号表示禁止排污后，Q将随时间逐渐减少，这时污染物的质量浓度为Q(t)/V。因为水库的水以速度r流出，所以污染物的流出速度=污水流出速度×。由此可得微分方程，这是一个可分离变量的微分方程。分离变量得，两边积分，得由题可知C=Q0故可得

［1］Garding L.数学概观［M］.胡作玄，译.北京：科学出版社，2001.

［2］高素志，马遵路，曾昭著等.常微分方程［M］.北京：北京师范大学出版社，1985.

［3］周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用［M］.北京：科学出版社，2003.

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［5］苏更生，赖传珍.对西部旅游发展战略的思考［J］.科技进步与对策，200，（2）：54-55.

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