浅谈小波分析教学

◆丁 杰

(扬州大学信息工程学院)

浅谈小波分析教学

◆丁 杰

(扬州大学信息工程学院)

本文介绍了如何利用学科发展的线索串联起教学内容，让学生通过实践掌握抽象理论的实质，并结合了教学实际讲授学科的最新发展，拓展了学生的眼界和知识面。

小波分析 教学内容 学科发展

一、引言

小波作为信号处理的强有力的工具已经在图像处理、语音处理、时频分析、故障诊断、金融分析、模式识别等众多领域得到了广泛的应用。JPEG2000就采用了小波变换作为图像压缩的标准。在很多高校，小波分析已是数学学科和信息学科的研究生的必修课和高年级本科生的选修课程。笔者在扬州大学信息工程学院也多次讲授了这门课程。选课对象是以信息与信号处理专业为主的硕士研究生和部分高年级本科生。鉴于选课学生并没有学过课程所涉及到的调和分析和泛函分析等较深的数学知识，甚至对Fourier分析也缺乏较深入的了解，笔者不得不从Fourier分析的内容开始讲授。因此笔者所讲授的这门课程涵盖了从Fourier分析到小波分析的基本内容。

二、以时频局部化分析为中心任务，利用学科发展线索串联教学内容

考虑到学生起点较低的实际状况，我们紧紧围绕时频局部化这一中心任务，依次介绍Fourier变换、加窗Fourier变换、加伸缩窗的Fourier变换、小波变换的基础知识。按照这条线索串联教学内容不仅顺应了学科的自我发展规律，而且由浅入深、从低到高的知识阶梯让学生容易掌握。在这条线索中，把加伸缩窗的Fourier变换中的频率部分eiξ去掉，就自然引出了小波变换。也即仅依靠伸缩率和时间变量也能够分解和重构一个信号，这就是小波变换。因为取消了具有频率或者周期性的指数函数eiξ，小波变换要求“窗函数”(在小波变换中称为小波函数)具有某种震荡性。跟周期性相比，震荡性显然要来得更宽松。如果采用一般教科书上直接给出小波变换的定义的方法，而缺乏学科发展背景的铺垫的话，学生不容易掌握其实质且无法从总整体上把握小波变换在学科发展中的作用和地位。

信号处理学科中最重要的主题是时频局部化的研究。时频局部化的研究也推动着这门学科的发展。Fourier分析只能分别处理时域或者频域而不能二者兼顾;加窗Fourier变换能够同时对时域和频域进行分析，但因窗函数的类型是固定的，分析的精度或分辨率因而不能随意调整;对于伸缩窗而言，则可以通过调整伸缩率来调整时域或者频域的分析精度。刚才已经提到，小波变换只用伸缩率和时间变量就可以同时做时域和频域的分析，而且时域与频域的分辨率或者精度可以通过伸缩率的变化而得到调整。这就是小波变换的精妙之处。学生如果了知这一点，就可以掌握小波变换以及Fourier变换的精髓了。当然，在小波变换中伸缩率通常叫做尺度，频域也被尺度域取代。但是频率和尺度之间的对应关系是很明确的，因而我们可以做这样的对比。

这些变换都有类似的的基本性质，比如各种变换的反演公式、Parseval恒等式和不确定原理等。尽管这些性质在不同的变换下有着不同的表现形式，但是表达的内容却是固定的。比如，Parseval恒等式告诉我们信号的能量是守恒的，即从频域的角度和从时域的角度去计算能量都是相等的;不确定性原理则告诉我们时域和频域的分析精度不可能同时得到无限提高。这样的教学有利于学生透过外在的不同形式去掌握这些原理和性质的本质内容，整个教学过程也因此可以串联成一个整体。

三、结合实例和应用，介绍多分辨分析等小波分析的核心内容

多分辨分析是小波分析的精髓，也是学生难以掌握的内容。在多分辨分析理论提出之前，有着五花八门的小波基的构造方法。最终由Mayer和Mallat提出了多分辨分析，统一了各个流派的构造方法。因为具有一定正则性的小波基，一定可以通过多分辨分析理论构造出来。我们有意避开小波基构造的各种这些支流理论而直接讲授多分辨分析。

我们结合应用来讲授比较抽象的多分辨分析理论。让学生从直观实例入手，在实践中理解和把握多分辨分析的核心内容，同时也锻炼了学生解决实际问题的能力。比如，我们可以用Harr小波对一维信号进行逼近和压缩。逼近的程度或压缩比的大小可以通过调节Haar函数的尺度来实现。这些不同尺度的Harr函数很自然地引出由Harr小波生成的多分辨分析。同时，由Harr分解和重构算法也很自然地过渡到一般的多分辨分析的分解和重构算法。我们这部分的教学思路受到了教材的启发。

多分辨分析理论在二维图像处理中有着重要的应用。我们利用Matlab的小波工具箱的使用手册以及演示模块，教导学生开展图像压缩的实验，提高了学生的学习兴趣和动手能力，也使得对多分辨分析等小波理论有了进一步的体验和理解。

四、拓展学生知识面，介绍学科最新进展

在教学中，我们不仅注重经典内容的讲授，还对所涉及到的本学科的最新进展做一定程度的介绍。比如，我们从讲解小波系数为什么具有稀疏性入手，继而延伸介绍了最近发展起来的稀疏重构技术。该技术通过对稀疏信号进行观测而非采样，只需少量观测点就能精确的重构原始信号。其观测频率可以远远低于奈奎斯特采样频率。这种技术也称之为压缩感知或压缩采样，是近年来国际上迅速兴起的热门研究方向。这样的安排既深化了教学内容，也拓展了学生的知识面，吸引了他们进一步学习的兴趣。

五、小结

本文介绍了作者在小波分析课程教学方面的一些体会:注重学科发展的线索，利用理论线索串联教学内容，使之具有整体性和内在连续性;让学生通过实践掌握抽象理论的实质，提高动手能力，深化对所学内容的体验和理解;结合教学实际讲授学科的最新发展，拓宽学生的眼界和知识面。受篇幅所限，我们还有一些教学体会如利用时频对偶的观点看待各个变换的基本性质等并未得到展开。

[1]A.Boggess and F.J.Narcowich，A first course in Wavelets with Fourier Analysis Prentice Hall，2001.

[2]S.Mallat，A Wavelet Tour of Signal Processing(third edition)，Elsevier Inc.2009.

[3]Wavelet Toolbox User’s Guide，The MathWorks，Inc.2002.