在高等数学教学中培养学生思维能力

徐国安

（武警警官学院 四川 成都 610213）

数学常被形象地称为“思维的体操”，数学思维能力是数学能力的核心。因此，在高等数学的教学中，积极培养学生的数学思维能力，是我们每一位数学教师的职责。但是，由于现行教学大纲要求高，学生基础薄弱，课时少、内容多的矛盾让教师注重的只是单一的知识传授，忽视了思维品质的培养；注重了解题技巧的训练，忽视了思维能力的训练，造成了学生知识的增长与思维能力发展不同步的状态。要全面提高学生的综合素质，数学思维能力的培养迫在眉睫，势在必行。下面结合本人的工作实际，就几种常用的数学思维能力的培养谈几点个人看法。

1 通过概念教学，提高抽象思维能力

高等数学的概念教学是本学科教学的基础工程。在高数的概念教学中，抽象思维占有相当大的比重，即使是以形象思维表述的内容最终形式还是抽象思维的产物。

概念的形成与概括包含了许多复杂的思维活动与数学发展过程，在教学中不仅要重视概念的理解，解决“是什么”的问题，而且还应解决“是怎样想到与形成的”。在概念教学中要下功夫去剖析概念的内涵与外延。下定义是揭示内涵的逻辑方法,要通过下定义使学生获得关于概念所反映的对象具有的共同本质属性。比如通过求变速直线运动物体的位移，曲边梯形的面积这两类具体问题的演示，可以发现通过任意分割、近似计算、求和、取极限四个步骤完美地解决了实际问题，产生了微元法的思想，引入了定积分的概念。通过定义的教学,要使学生明确定积分是一个特殊的和式极限。“分割”体现了所求量在区间上具有可加性,“近似”是关键,表示所求量在每一个小区间上可以用近似来代替,后两步给出了所求量的精确值,揭示了概念的本质属性。特殊的和式极限存在是核心,只有该极限存在才称函数在区间上可积，进而指出定积分是个数值,最后给予几何解释以形象思维加深理解。这样,通过教学不仅明确了定积分所指的对象及本质属性,而且为定积分的应用打下了基础。

概念教学要培养学生在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力。

2 通过一题多解、一题多变，一法多用来提高发散思维能力

我们都很重视把知识正确地、全面地传授给学生，可是仅仅如此是否就够了?在课堂上我们认真地、严格地对每一个定理加以证明，对每一个公式给以推导，却往往忽略了采用这样的证明和推导方法的原因。在讲例题时，把解题过程写得很详细，却不太重视解题的思维过程。造成学生只注意单纯模仿，而缺乏独立分析问题的能力，遇到新问题时往往束手无策。要克服教学中这些缺陷，就应随时地、自觉地注意培养学生的思维能力。思维的灵活性，具体地讲就是根据客观条件发展变化及时改变思维过程、寻求新的解题途径。首先抓好发散思维的训练，通过一题多解、一题多变、一法多用，来训练思维的灵活性，其次是抓好思维起点和思维过程的灵活性，制定考虑问题的总体方向，善于随机应变，转换策略。

解数学题，就是在于探索问题的条件和结论之间的联系，通过已有的知识体系，不同的人选择不同的对接路径，选择恰当的解题方法。一题多解是从同一题设中，探求不同的思维过程，它要求思维方向发散于不同的方面，有利于培养学生思维的发散性和广阔性。一题多解对于开阔视野、开发智力、启迪思维都大有裨益。通过多题演算，加深对问题的理解，逐步掌握常用解题方法与基本解题规律，不断提高分析问题和解决问题的能力，培养举一反三、触类旁通的本领。例如求空间立体的体积，可以利用定积分，也可以利用重积分，还可以利用高斯公式等。

通过一题多解、一题多变、一题多用、多题一法”的变式教学能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共同本质；多题归一，归纳思考规律。“一题多解、“一题多变”的训练，通过观察、分析、归纳、联想、类比等方法让学生从多个角度多个方面以各种观点去分析思考，扩充思维领域，从多渠道寻求解题途径，探索解题方法，达到培养学生思维的灵活性、敏捷性和创造性的目的。教师要善于挖掘和选取高等数学中知识点与题目中的发散素材，确定恰当的发散对象或选取发散点，适度地把发散思维的培养贯穿于平时的教学之中，培养学生的创造性思维能力。

3 通过逆推法、反证法、举反例，提高逆向思维能力

逆向思维是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题，是摆脱思维定势，突破旧思想，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。逆向思维在数学方法上主要表现为逆推法，是以待解决的问题为出发点，逐步往前分析递推，最终达到问题解决的思路的推理方法，这种推理方法有助于在一堆表面上看似错综复杂、毫无联系的已知条件中准确有效地找到解决问题的突破口。

逆向思维对于学生深入认识概念的本质有着重要作用，在高等数学中有着较多的应用。例如，函数在某点可导与可微是互为充要条件，可微函数一定连续，连续函数一定可积；但是，连续函数未必可微，可积函数未必连续。而正如我们所熟知的，对于“连续性”、“可微性”“可积性”等概念的明确区分在数学发展史中具有十分重要的地位。这种引导学生从不同方向思考，鼓励学生质疑、反问，在教学中有意识地反过来去思考研究其逆问题，一方面有助于对相关概念的更深刻理解，另一方面有助于提高学生的创造性思维。

高等数学中提供了大量可逆的素材，互为逆否命题、互逆定理、互逆公式、互逆运算、互逆变换、互逆证法等。在教学中引导学生不仅能正确地进行正向思维，而且还能灵活地运用知识进行逆向思维解决相应的问题，从而培养学生思维的灵活性和从正向思维到逆向思维的转换能力。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，它是摆脱思维定势，突破旧有思维框架，产生新思维，发现新知识的重要思维方式。

此外，在高等数学中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，要举出不同层次数学对象的反例需要很高的数学修养。寻求反例的过程既需要数学知识与经验的积累，也要发挥诸如观察与比较、联想与猜想、逻辑与直觉、逆推、反设、反证以及归纳计算构造等一系列辨证的互补的逆向思维方法。

4 通过数学建模，提高创新思维能力

高等数学具有较高的抽象性，学生在学习过程中感到枯燥无味，许多学生认识不到学习数学的重要性。由于数学建模过程是社会生产实践、经济领域、生活当中的实际问题经过适当的简化、抽象而形成数学公式、方程、函数式或几何问题等，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好的问题启发、引导学生主动查阅文献资料学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索、努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神，形成一个生动活泼的环境和气氛。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素质。它强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。如在极值课题中可以通过数学经济模型中最优经济决策的选择、国民经济计划的确定、经济静态平衡与动态平衡模型的建立，得出解决最优化问题的主要数学思想方法是数学规划，即多变量约束情况下如何寻求一个 X（X＝X1，X2…Xn）使某个（或n个）函数在该处达到极大值或极小值。在微分课题中，可以将微分思想引入到自然科学、社会科学和工程技术中。

当然高等数学的教学中除了培养学生的抽象思维、发散思维、逆向思维、创新思维能力以外，还可以提高形象思维、逻辑思维、归纳、类比思维等其它思维能力。这些能力对学生以后的工作、生活有着很大的影响，掌握好了可以受用终生。如何在高等数学教学中更好地培养学生的思维能力，这是每位教师的一个长期而艰巨的任务，需要我们在教学过程中不断地摸索，不断地总结，不断地实践。

［1］同济大学数学系，编.高等数学.北京:高等教育出版社,2006.

［2］姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993,8.