基于粒子群优化的灰色预测方法

王晶郭剑

(1.江苏省邮电规划设计院有限责任公司，江苏 南京 210006；2.南京邮电大学 计算机学院, 江苏 南京 210003)

1.引言

灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，它属于时间序列分析方法的一种。灰色预测法的基本思想是：系统的时间序列数据中蕴含着系统演化的信息，所以对已有的数据进行研究，可以找出其蕴含的规律，并进而推知系统未来的发展动态。由于计算简单，所需先验知识不多，因此自诞生以来，灰色预测法在网络流量规划、电信话务量预测、灾害预警等领域均得到了广泛的应用，并发挥出越来越大的影响力。

灰色预测法的研究对象是灰色系统，所谓灰色系统是指同时包含已知信息和未知信息的系统。灰色预测法通过对灰色系统进行建模工作，能够有效地挖掘出系统输出数据的内在规律，从而为理解和预测系统的状态提供帮助。在灰色预测法中，GM(1,1)模型是目前应用最多的灰色模型[1]。

但是，随着GM(1,1)模型的应用推广，其缺陷也逐渐显露出来。灰色预测算法的精度不高，结果相对粗糙。很多学者对其进行了研究，并提出了不少改进的方案。刘树等人[2]对灰色预测GM(1,1)模型和GM(1,1)残差模型问题进行了较多的分析。徐华锋等人[3]对灰色作用量进行了研究和优化。Li等人[4]提出了GM(1,1)模型的参数估计方法，以提高预测的精度。Tsaur等人[5]针对有限时间序列提出了模糊灰色回归模型。Xie等人[6]针对离散系统提出了一种离散灰色优化预测模型。Xie[7]等学者则提出了将神经网络与灰色预测方法相结合的方法，并取得了一定的效果。

本文也对此进行了研究。我们认为，GM(1,1)模型中发展系数与灰色作用量的值较为关键，对预测的结果会有较大的影响。传统方法一般使用最小二乘法来求解，误差较大，不够精确。本文对其进行了改进，使用粒子群优化[8,9]（Particle Swarm Optimization，PSO）算法来求解GM(1,1)的参数，并在此基础之上提出了基于PSO的灰色预测算法（a PSO based Grey Prediction algorithm，PSOGP）。仿真试验表明，PSOGP的预测精度比GM(1,1)模型要高。

2.GM(1,1)模型

GM(1,1)是使用最为广泛的一种灰色模型。其主要过程是，首先对原始数据进行累加，得到具有一定规律性的新序列，对该序列使用一些曲线来逼近，得到了逼近曲线之后，将其作为预测模型，对系统进行预测。

假定系统的原始时间序列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n)}，对其进行一次累加生成操作后，得到序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n)}。累加生成操作的过程如式（1）所示。

一般认为，经过累加操作之后，数据的随机性会弱化很多，规律性更加明显，此时可以用指数曲线来逼近。

对 X(1)建立微分方程，得到式（2）。

其满足的临界条件是：x(1)(1)=x(0)(1)。

在式（2）中，a称为发展系数，u称为灰色作用量，均是未知变量，可记成一个列向量d，如式（3）所示。

通常用最小二乘法来求解d，可求得

其中，

将a、u代入（2），可求得方程式的解为

3.基于PSO的灰色预测算法

3.1 PSO算法

PSO属于群智能算法，它是Russell与James受鸟群觅食启发所提出的一种演化算法。PSO算法的主要思路是将待求解问题转化为一个在多维空间中寻找最优位置的问题，其求解过程就是使用一群微粒在这个空间中寻找代表最优解的最佳位置。在求解过程中，粒子之间可以相互交流信息，从而调整自己的搜索方向与前进速度。

假设算法一共使用了N个微粒。对于一个微粒i，1≤i≤N，假设其位置为xi，运行速度为vi。PSO算法规定，粒子i的运动由（8）决定。

在式（8）中，Pi是粒子i的历史最优位置；Pg是整个群体的历史最优位置；ωvi表示粒子当前飞行速度的惯性作用，其中ω为惯性因子；c1、c2为加速度因子；r1、r2是两个随机数，取值范围[0-1]。

在GM(1,1)模型中，求解参数a与u通常使用的是最小二乘法，不仅计算量大，结果的精度也不够高。因此，本文使用了PSO算法来求解这两个参数，取得了较好的效果。

3.2 基于PSO的灰色预测算法

（1）粒子位置编码

在PSOGP算法中，每个粒子的位置是一个二维向量，分别代表带求解的参数a和u。其编码方式如图1所示。

图1 PSOGP算法的粒子位置编码

（2）适应度函数

适应度函数是评价粒子位置好坏的依据。在PSOGP算法中，使用了式（9）所示的评价函数。

（3）PSOGP算法的流程

PSOGP算法主要包括如下三个步骤：

①读取初始数据序列；

②使用PSO算法来求解发展系数a和灰色作用量u；

③根据参数a和u，分别计算出拟合数据与预测数据。

4.仿真及测试

我们用C++语言实现了一个PSOGP算法。为了验证PSOGP的性能，我们另外实现了一个传统的GM(1,1)算法（使用最小二乘法来求解参数），并进行了对比试验。

仿真时，我们以文献[10]中1992-2008年中国的城市化水平数据作为试验对象。城市化水平是指一定地域内城市人口占总人口数的比例，又称为城市化率，它是衡量城市化发展程度的重要指标。我们以1992-2002年的数据作为原始数据，分别使用两种算法预测2003-2008年的数据，并与真实数据进行比较。

两种方法的输出结果如表1所示，其中灰色部分是预测年份的数据。

表1 两种算法算出的拟合值与预测值（单位：%）

图2 两种算法的预测误差比较

表2 两种算法的平均预测误差

两种算法的预测误差如图2所示，其平均误差如表2所示。可以看出，PSOGP算法的准确度比GM(1,1)要高。另外还可以看出，随着年数的增加，两种预测算法的误差都逐渐上升，超过五年的数据误差就比较大了。这说明，灰色预测算法短期预测的效果较好，长期预测还需要结合其它技术手段进行。

5.结束语

针对传统GM(1,1)模型的缺陷，本文使用了PSO算法来求解灰色模型的发展系数和灰色作用量，提高了GM(1,1)的性能，提升了预测的精度。此外，从试验中可以发现，灰色模型对数据的长期预测存在较大的误差，我们将继续对此进行研究，以进一步提高灰色模型的预测效果。

[1]Liu SF.The current developing status on grey system theory[J].The Journal of Grey System,2007,2：111-123.

[2]刘树,王燕,胡凤阁.对灰色预测模型残差问题的探讨[J].统计与决策,2008,1：9-11.

[3]徐华锋,刘思峰,方志耕.GM(1,1)模型灰色作用量的优化[J].数学的实践与认识,2010,40(2)：26-32.

[4]Li XM,Dang YG,Zhao JJ.An optimization method of estimating parameters in GM(1,1)Model[A].Proceedings of IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services[C],2010,341-347.

[5]Tsaur,Ruey C.Forecasting analysis by using fuzzy grey regression model for solving limited timeseriesdata[J].Soft Computing,2008,12(11)：1105-1113.

[6]Xie NM,Liu SF.Discretegrey forecasting model and itsoptimization[J].Applied Mathematical Modeling,,2009,33(2)：1173-1186.

[7]Xie J,Han HL.The Water Productivity Forecasting Based on BP Neural Network and Gray Prediction Model[A].Proceedings of International Conferenceon Civil Engineering[C],2010,939-943.

[8]Rana S,Jasola S,Kumar R.A review on particle swarm optimization algorithms and their applications to data clustering [J].Artificial Intelligence Review,2011,35(3)：211-222.

[9]Kameyama K.Particle Swarm Optimization-A Survey[J].IEICE Transactionson Information and Systems,2009,E92D(7)：1354-1361.

[10]国家统计局.2009中国统计摘要 [M].北京：中国统计出版社,2009.