y轴方向上做简谐运动的证明及解题应用

欧永华

(福建省仙游第一中学,福建仙游 351200)

1 问题的提出

2011年福建卷理科综合第22题:如图1-甲,在 x＞0(原考题如此—编者)的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为 B.一质量为 m,带电荷量为 q(q＞0)的粒子从坐标原点O处,以初速度 v0沿x轴正方向射入,粒子的运动轨迹见图1-甲,不计粒子的重力.

(1)求该粒子运动到y=h时的速度大小v;

(2)现只改变入射粒子初速度的大小,发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹(y-x曲线)不同,但具有相同的空间周期性,如图1-乙所示;同时,这些粒子在y轴方向上的运动(y-t关系)是简谐运动,且都有相同的周期 T

Ⅰ.求粒子在一个周期内,沿x轴方向前进的距离s;

Ⅱ.当入射粒子的初速度大小为 v0时,其 y-t图像如图1-丙所示,求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay,并写出 y-t的函数表达式.

图1

本题第(2)问中将“这些粒子在y轴方向上的运动(y-t关系)是简谐运动,且都有相同的周期直接陈述为已知条件并应用求解.现将参考答案转录如下.

解析:(2)Ⅰ.由图1-乙可知,所有的求粒子在一个周期T内,沿 x轴方向前进的距离相同,即都等于恰好沿 x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离.设粒子恰好沿x轴方向匀速运动的速度大小为v1,则

由(1)、(2)式解得

(2)Ⅱ.设粒子在 y方向上的最大位移ym(图1-丙曲线的最高点处),对应的粒子运动速度大小为 v2(方向沿 x轴),因为粒子在 y方向上的运动为简谐运动,因而在 y=0和y=ym处粒子所受的合外力大小相等、方向相反,则

由动能定理有

由(3)～(5)式解得

可写出图1-丙曲线满足的简谐运动y-t函数表达式为

但是为什么带电粒子在y轴方向上的运动一定是简谐运动而且都有相同的周期,周期一定为呢?是否有其他的求解方法?

2 做简谐运动及周期的证明

当带电粒子以初速度 v0沿 x轴正方向射入时,设带电粒子还具有图2所示的沿 x轴方向上的两个速度+v1和-v1(即+v1和-v1叠加的合速度为零).

图2

图3

首先让带电粒子由+v1这个速度引起的洛伦兹力正好与电场力相平衡,有

那么,带电粒子还具有沿x轴正方向上的速度v0和负方向上的速度-v1的合速度

带电粒子在v这个速度引起的洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动如图 3,即

则匀速圆周运动的周期

可见带电粒子的运动形式可以视为由沿 x轴正方向以速度v1做匀速直线运动和以速度v做匀速圆周运动的两个分运动的合成.所以初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹(y-x曲线)不同,但具有相同的空间周期性,周期为是与初速度 v0的大小无关的物理量.

其中带电粒子在y轴方向上的运动(y-t关系)是由v这个速度引起的洛伦兹力作用下的匀速圆周运动在y轴方向上的投影随时间的变化关系来表述的(如图3),即

这正是简谐运动的运动公式,所以粒子在y轴方向上的运动(y-t关系)是简谐运动.

3 解题应用

第(1)问略.

第(2)问:

Ⅰ.带电粒子的沿 x轴正方向以速度v1做匀速直线运动,且周期为则

Ⅱ.带电粒子还具有沿 x轴正方向上的速度v0和负方向上的速度-v1的合速度

带电粒子在v这个速度引起的洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,即

由(7)～(11)式解得

角速度

可写出简谐运动的y-t的函数表达式为