模糊范数法评估纳米添加剂润滑脂摩擦试验数据

2011-07-22张林李鹏张军

轴承 2011年2期

张林，李鹏，张军

(洛阳轴研科技股份有限公司，河南洛阳 471039)

在目前的摩擦学试验中，经常遇到数据个数很少的情况，如果采用经典统计理论进行分析，则可靠性较低，如何正确处理是一个难题。而乏信息理论在很多小样本、概率分布未知的试验数据的评估中优势比较明显，可靠度和准确度也较高。运用非统计理论对样本数据的评估和预报已应用于航空领域[1-2]，并发挥了不可估量的作用。这里，结合添加纳米粒子润滑脂的小样本摩擦试验数据，介绍模糊集合理论对小样本试验数据的评估。

1 试验及数据

试验方法及试验条件见文献[3]，试验数据见图1。

图1 9种润滑脂摩擦力数据

2 评估方法

2.1 模糊范数法

模糊范数法是以隶属函数和范数的数学概念为基础，建立经验概率密度函数，进而对系统总体属性参数进行评估的一种本征融合方法，可以获得新信息的最终解。

将每组摩擦数据x从小到大排序，以研究其内在特性，新的数据序列xi为

xi≤xi+1，i=1,2…,n;

(1)

定义差值序列为

di=di(xi)=xi+1-xi≥0。

(2)

差值di越小，数据的分布越密集；否则越稀疏。用如下线性隶属函数描述系统总体的概率密度函数

(3)

(4)

(5)

式中:mi为分布因子。

设最大分布因子为mmax，与其对应的xi为Xv，序列号i为v。若有多个重复的mmax，则Xv和v可以由算数平均值确定。

设

f1i(xi)=mi,i=1,2,…,v;

(6)

f2i(xi)=mi,i=v,v+1,…,n。

(7)

用两个多项式分别逼近离散值f1i(xi)和f2i(xi)，就可以得到f1和f2。

(8)

(9)

式中：X0为摩擦数据真值；l为多项式阶次，l=1,2,…,L。

设

r1i=f1(xi)-f1i(xi),i=1,2,…,v;

(10)

r2i=f2(xi)-f2i(xi),i=v,v+1,…,n。

(11)

定义最大模范数

(12)

对于al，有

(13)

对于bl，有

(14)

可以确定系数al和bl，进而得到隶属函数f1(x)和f2(x)。

(13)和(14)式的约束条件分别为

(15)

(16)

摩擦数据的真值X0是未知的，在经典统计学上，它可以用数学期望表示。考虑到小样本问题，这里用最大隶属度值表示真值X0，即

X0≈x|f(x)=1=Xv。

(17)

根据模糊集合理论，一个系统的属性从真到假变化有一个过渡区间，即

(18)

式中：G(x)为系统总体属性变化的特征函数；q为水平，q∈[0，1]；q*为最优水平。

设摩擦数据参数的变化区间为[xL,xU]，在区间内x是可用的，特征值为1(真)；而在区间外x是不可用的，特征值为0(假)。选择水平q=q*分别满足

min|f1(x)-q|时，

x=xL;

(19)

min|f2(x)-q|时，

x=xU。

(20)

以此求出摩擦数据的变化区间[xL，xU]。

2.2 经验概率密度函数与置信水平

系统总体属性参数的经验概率密度函数可以用隶属函数表示为

(21)

置信水平P为

(22)

(22)式必须满足

0≤P≤1。

(23)

由(22)式可知，P受q和L的影响。若要求P为某一常数，如P=95%或P=99%或P=100%，则可以调节q和L来满足此要求。此外，因小样本数据个数很少，故L值一般是很小的，如L=1，2或3。

在实际计算中，一般给定P，优选L=3，再调节q以满足P，就可以得到在P置信水平下的区间评估结果[xL,xU]。

3 评估结果及理论分析

取L=3，置信水平分别为90%，95%和99%，运用模糊范数法建立数学模型，对试验数据进行评估，L=3时数据的分析结果可靠性较高，但计算相对复杂，可以借助计算机编程实现。在3种置信水平下，运用模糊范数理论对摩擦力的数据进行评估，结果见表1、表2和表3。

表1 置信水平为90%的摩擦力数据评估结果 N

表2 置信水平为95%的摩擦力数据评估结果 N

表3 置信水平为99%的摩擦力数据评估结果 N

无论是滚动摩擦还是滑动摩擦，其摩擦力随时间在一定区间波动。一般情况下，摩擦力变大，磨损加剧，寿命就会变短；相反，摩擦力变小，磨损会减小，寿命就会延长。而更重要的是摩擦力的波动区间，摩擦力在一个区间内波动，如果其波动范围小，说明摩擦均匀，机器运转平稳，寿命会更长。从3种置信水平下评估的试验数据可以看出，同种添加剂的摩擦力数据波动区间都是随着添加量的增加先减小后增大，在某个添加比例时达到一个最小值，即存在一最佳添加比例，而不同的材料该最佳添加比例是不同的。从数据中还发现含0.5%纳米氧化锆的润滑脂的摩擦力数据的波动区间和均值在3种置信水平下都是最小的，说明本试验中氧化锆粒子在此比例时能够有效地降低摩擦磨损，延长轴承的使用寿命。