基于DWT的水文序列复杂性分析

李永芳，陈丽侠，程 瑶

(1.黄河水利委员会工程建设管理中心，河南郑州 450003;2.福建省水文水资源勘测局，福建福州 350001)

基于DWT的水文序列复杂性分析

李永芳1，陈丽侠2，程 瑶2

(1.黄河水利委员会工程建设管理中心，河南郑州 450003;2.福建省水文水资源勘测局，福建福州 350001)

在对流域出口断面实测年径流序列和年降雨序列进行离散小波变换(DWT)的基础上，利用信息量系数(ICF)和赫斯特(Hurst)系数2种不同的指标，分别定量描述了2种指标下水文序列的复杂性.结果表明，年降雨序列的复杂性均大于实测年径流序列的复杂性.

水文序列;离散小波变换;复杂性

流域的降雨、径流等水文因子由于受气候变化、流域自然地理以及人类活动的综合影响，其过程呈现出一系列的复杂性，特别是近年来气候异常以及人工取用水的加剧使得其变化特性的复杂程度有明显改变.如何进一步认识跨越不同背景下的水文因子序列的复杂特性将成为水文学的研究内容［1］.引起事物复杂性的根源是多种多样的，真正的复杂性并不能由任何单一因素产生，而是非线性(非平衡性)、多样性、多层性、多变性、整体性、统计性、自相似性、非对称性(对称破缺)、不可逆性和自组织临界性等多种根源相互影响、交叉、缠绕、渗透以及融合的结果［2］.就水文过程而言，其复杂性又表现为随机性、非线性、分形和混沌等具体形式［3］.小波分析的多分辨分析(Multi-resolution Analysis，MRA)能够充分挖掘信号(水文序列)的细节信息，笔者利用这一非线性方法并与计算复杂性方法结合，为实现流域水文变化之复杂特性的定量表征研究做了一定的探讨.

1 小波与小波变换

1.1 小 波

小波函数是具有振荡特性，能够迅速衰减到零的一类函数［3－4］.设任一小波 ψ(t) ∈ L2(R) 满足相容性条件，定义子波函数为

1.2 小波变换与离散小波变换

对于任一函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换(Continue Wavelet Transform，CWT) 公式［5－6］为

式中Wf(a，b)为小波变换系数.

由式(1)、式(2)可知，小波分析实际上是一族小波函数表示的时间函数f(t)，通过小波变换就可得到小波变换系数，而对这些系数的分析可以显示出时间函数的时频特性及其重要的局部变化特性.而这种随着尺度a由大到小的变化，对信号或者图像可以由粗到精地观察，既可以看到信号或图像的概貌部分，又可以看到其细节部分的特征就被称之为多分辨分析(MRA).

在水文学的应用中，时间函数f(t)多为离散的时间序列，实际工作需要对式(2)进行离散化，得到离散小波变换(Discrete Wavelet Transform，DWT)公式

式中:k=1，2，…，N;Δt为取样时间间隔.

2 基于DWT的水文序列复杂性计算

2.1 基于DWT的水文序列信息量系数计算

信息量系数(Information Cost Function，ICF)计算出了与序列能量分布相应的信息，并从一定程度上表现了序列的信息维数，从而表征了被研究序列的复杂程度.以下是基于DWT的水文序列信息量系数的具体计算过程［5］.

首先将水文时间序列f(t)的时间参数和平移参数分别进行处理:

对参数处理后的f(t)进行离散小波变换，并定义dj，k为aj(j=1，2，…，M;M为最大分解次数) 尺度下的离散小波变换系数.

其次可求得水文序列f(t)在各种尺度水平j下的能量

继而求出水文序列f(t)在各个尺度上的能量概率分布Pj，

将能量概率分布的香农(Shanon)熵定义为信息量系数，即有

2.2 基于DWT的水文序列Hurst系数计算

由于降雨、径流等水文现象的发展在时间上存在相依性，则表征其发展过程的时间序列也相应地表现出持续性或长程相依性［7］.Hurst系数是能够反映水文序列的长滞时相关结构的一种定量指标，从而表征了水文序列的复杂性.研究表明，一维自相似过程f(t)的分维数D与Hurst指数H的关系为［8］

因此，要想获取序列的分维值，只需求取Hurst指数即可.文献［9］证明了Hurst系数的小波估计量具有无偏性和有效性.基于DWT的Hurst系数的计算过程如下［1，9］.

通过上述2变量计算Hurst系数的小波估计

3 实例研究

以福建闽江支流建溪七里街站上游流域为研究区域，就流域出口断面1951—2001年的实测年径流序列和年降雨序列，采用上述2种方法分别进行了序列的复杂性定量计算.由于Db6小波具有紧支集、正相交以及良好的消失矩等重要特性，为便于研究比较，2种方法均选取Db6小波进行小波变换，快速算法统一采用 Mallat算法，对序列进行 5层MRA分解.

3.1 基于 DWT的水文序列信息量系数的应用分析

将上述基于DWT的信息量系数用于试验区域水文序列51 a(1951—2001年)的变化特征刻划，得到不同水文序列的信息量系数，见表1.为描述方便，做出各序列能量概率分布图，如图1所示.

表1 七里街水文序列信息量系数计算

图1 七里街水文序列能量概率分布

图1表明了水文序列在各频带上的能量分布情况.两序列在频域上特别是1—4层的能量分布比较均匀，说明两序列在时域上分布规则性差，故两序列的ICF值都比较高，都表现出较强的复杂性，由图1容易看出，年实测径流序列的相对起伏大些，说明该序列在时域上的周期性成分相对较强，亦即该序列在时域上相对同期年降雨序列而言有较强的有序性，因此在信息量系数的表征上相对较小，其复杂性较小.

3.2 基于 DWT的水文序列 Hurst系数的应用分析

将试验区域水文序列的Hurst系数的小波估计(选取j1=1，j2=5)及其相应的分维值列入表2.

表2 七里街水文序列Hurst系数小波估计

由表2可知，试验区域年降雨和实测年径流序列的Hurst系数值较高，均大于0.5.由相关理论可知［1］，这些时序过去的增量与未来的增量呈正相关关系，序列的分数布朗运动具有良好的长持续性.并且从H值的大小可知，实测年径流序列的H值较大，表明该序列长滞时相关结构的有序性较好，体现在分维上，其值最小，因而复杂性相对较小;而年降雨序列的H值较小，表明了该序列的长滞时相关结构的有序性较差，体现在分维上，其值较大，因而复杂性相对较大.

4 结语

1)在基于离散小波变换的基础上，分别计算了1951—2001年闽江建溪七里街流域的年降雨序列与实测年径流序列的信息量系数和Hurst指数.无论选取那种指标，试验流域的年降雨序列相对实测年径流序列都表现出更强的复杂性.

2)计算结果表明，人类活动特别是人工取用水的控制和干预使得实测年径流序列的年代际变化更趋于平缓化和有序化.

［1］王文圣，丁晶，李跃清.水文小波分析［M］.北京:化学工业出版社，2005.

［2］方锦清.令人关注的复杂性科学和复杂性研究［J］.自然杂质，2002，24(1):7 －15.

［3］［美］崔锦泰.小波分析导论［M］.程正兴，译.西安:西安交通大学出版社，1995.

［4］程正兴.小波分析算法与应用［M］.西安:西安交通大学出版社，1998.

［5］李贤彬，丁晶，李后强.水文时间序列的子波分析法［J］.水科学进展，1999，10(2):144 －149.

［6］张少文.黄河流域天然年径流变化特性分析及其预测［D］.成都:四川大学，2005.

［7］P Abray，D Veiteh.Wavelet analysis of long-range-dependence traffic.IEEE Trans［J］.Information Theory，1998，4(1):2－5.

［8］肯尼思法尔科内.分形几何——数学基础及其应用［M］.曾文曲，刘世耀，译.沈阳:东北大学出版社，1991.

［9］李贤彬，丁晶，李后强.水文序列Hurst系数的子波估计法［J］.水利学报，1999，10(8):21 －25.

Complexity Analysis of Hydrologic Series Based on DWT

LI Yong-fang1，CHEN Li-xia2，CHENG Yao2
(1.Engineering Construction and Management Center，YRCC，Zhengzhou 450003，China;2.Fujian Hydrologic and Water Resources Bureau，Fuzhou 350001，China)

The Discrete Wavelet Transform(DWT)was carried through with measured annual runoff series and annual precipitation series of the section in the outlet of the watershed.On the basis of this，tow different indicators，namely the Information Cost Function(ICF)and Hurst coefficient were used to describe the complexity of these two hydrologic series respectively.The results illustrated that the annual precipitation series was more complex than the measured annual runoff series.

hydrologic series;DWT;complexity

1002－5634(2011)05－0043－03

2011－07－30

李永芳(1979—)，女，河南项城人，工程师，硕士，主要从事水文水资源方面的研究.

(责任编辑:陈海涛)