NURBS曲线修正插补算法的研究

邬再新，张万军，胡赤兵，张 峰

（1. 兰州理工大学 数字制造技术与应用省部共建教育部重点实验室，兰州 730050；2. 兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050；3. 兰州瑞丰工贸有限公司，兰州 730050）

0 引言

目前只有极少数FANUC、Siemens、三菱等数控系统支持NURBS插补，而绝大多数数控系统支持直线、圆弧或抛物线等插补[1]。于是研究NURBS插补方法在开放的CNC系统中就显得十分必要，CNC系统中添加NURBS曲线插补[2]，通常使用参数递推方法插补。对NURBS曲线插补参数递推一阶、两阶求解(导数)比较麻烦，加工误差较大。本文给出一种NURBS曲线修正的插补算法，该算法可以提高加工精度、实现高效率的加工。

1 NURBS曲线的数学定义[3,7]

NURBS曲线一分段的矢值有理多项式函数，其表达式为：

式中wi为权因子（i＝0, 1, …, n），vi分别控制顶点相联系（i＝1, …, n)，Bi, k(u)为k次样条基函数。一条NURBS曲线由它的几何三要素定义控制顶点、权因子和节点矢量等构成。

2 NURBS曲线插补修正

NURBS曲线用控制点、权因子和节点矢量来表达曲线信息。减少了精度损失，可用CNC原理上的最小步长(由系统插补周期确定的进给弦长)来逼近轮廓，获得最高的逼近NURBS曲线插补的精度。参数作为NC系统程序的一部分，由CNC系统内部进行实时计算生成NURBS曲线[5]，就可以满足NURBS实时性。

2.1 NURBS插补预处理

为减少NURBS曲线插补中实时计算的工作量，可把不需要在实时插补中进行的所有操作（如控制顶点、权因子、节点矢量等）放在插补预处理中完成，降低实时插补的计算复杂程度，提高插补计算的速度[4]。

2.2 插补方法

本算法采用快速递推的近似算法来预估新插补点。以对时间的二阶差分代替微分[6]，即：

代入二阶泰勒级数展开式

然后将估计参数u′i+1代入曲线方程可得预估插补点 p′i+1及预估插补点对应的进给步长 Δl′i＝p (ui+1)－p (ui) 得到该插补周期增量值，但是由求解比较麻烦，故而采用修正法对其改进。

2.3 插补修正

2.3.1 满足插补前修正各轴控制的关系式[8]

利用样条曲线构造方法，产生一条空间n阶导数连续的自由曲线。该空间自由曲线第i段为：

满足如下条件：

2.3.2 参数插补过程中满足的算法条件

利用式（1）求方程pi(u)得一阶导数、两阶导数建立关于参数u 的方程。令V0＝p0，Vn+2＝pn：

式中“×、空格”，分别表示有数值、零。通过曲线参数化求解（同样可建立两阶参数方程可求出解）、改变“×”的值（含参数u)、反算控制点，完成整过插补。

笔者提出的NURBS曲线修正算法插补流程图如图1所示。

图1 NURBS曲线修正算法流程图

2.4 插补算法实现

在NURBS曲线插补的过程中，首先设置插补实时满足的条件参数递推和NURBS曲线求导（一阶、两阶），判断在插补中是否从在常量进行预处理，从而实现插补。同时，在插补的过程中要使误差（弓高）在一定范围内，完成插补。笔者给出的插补算法实现简图，如图2所示。

图2 NURBS曲线插补算法实现简图

2.5 误差（弓高）计算和分析

在插补中为了保证插补精度，要使插补曲线与NURBS曲线的弓高误差在规定的精度范围之内，如图3所示。

图3 NURBS曲线误差分析

圆弧插补时的逼近误差e与插补周期T、进给速度F以及该曲线在逼近处的的曲率半径ρ的关系为：

因为△l＝FT，代入上式有：

当 e＝ eh，Δli＝ Δl时，由式（3）得：

可见在整个插补的过程中，若T越长，或F越大，或ρ越小，则插补误差越大。在实际的数控系统中，通过对F进行限制来保证e在允许的范围内。NURBS曲线模拟(近似)误差e与实际误差MN如图4所示：

图4 NURBS曲线近似误差与实际误差

根据计算由图4列出eh的关系式：

弓高误差和实际误差相比较小，只在曲线拐点的地方有较小的影响。因此在一般情况下可忽略，说明曲线实际控制与模拟控制相吻合。

3 验证

上述算法在matlab7.0上进行验证，利用不同控制点的坐标(x, y)，节点、权因子、次数等，以X轴的控制位置和Y轴的控制位置作出实际轮廓控制位置和插补控制位置的NURBS曲线插补运算仿真图。验证曲线实际控制与模拟控制，如图5所示。

4 结论

图5 曲线实际控制与模拟曲线插补

本文建立的NURBS曲线插补修正算法通过在matlab7.0上，模拟曲线实际控制与模拟控制相吻合，从而验证该算法是正确的，达到参数修正的目的。该算法不仅满足加工精度方面的要求，同时满足了加工实时性要求。

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