复矩阵的Givens变换及其QR分解

杜 鹃 冯思臣

（成都理工大学 管理科学学院，成都610059）

1 预备知识

随着现代化科学技术的迅速发展，矩阵的分解在控制理论、信息论、系统识别和信息处理、优化理论、最小二乘问题中都是十分重要的工具。参考文献［1～4］涉及到矩阵的QR分解，并且目前的大多数文献中也只对实矩阵利用Givens矩阵变换、Householder矩阵变换、Doolittle分解得到QR分解公式。文献［5～8］中给出了一些更好的算法途径，而对复矩阵的Givens矩阵变换及其QR分解，尚没有具体方法。但这一问题在工程技术应用中是非常有实用价值的。本文就从复Givens矩阵变换入手，给出复矩阵的QR分解方法。

定义1设实数c与s满足c2＋s2＝1，称矩阵

为复数形式的Givens矩阵（初等旋转矩阵），其中c＝cosθ＞0，s＝sinθ＞0，θ为旋转角，θ1＋θ4＝θ2＋θ3。可以得到当θ4＝－θ1＋2nπ时det Uik＝1。

定义2如果实（复）非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A＝QR，则称为A的QR分解。

性质1即Uik是酉矩阵，且也是复Givens矩阵。

性质2当θ4＝－θ1，θ3＝－θ2时，则

以下讨论都假设θ4＝－θ1，θ3＝－θ2。

性质3对于不全为零的复数α和β，可选取

证

同理

性质4设x＝（ξ1，ξ2，…，ξn）T∈Cn，当时，

证可由性质3推得。

2 主要结论

定理1设x＝（ξ1，ξ2，…，ξn）T≠0，x∈Cn，则存在有限个复数形式的Givens矩阵的乘积，记为U，使Ux＝‖x‖2e1。

证若ξ1≠0，构造复Givens矩阵U12，令θ1＝－argξ1，θ2＝－argξ2，由性质4可得U12x＝再对U12x 构造复Givens矩阵U13，又令…，ξn）T，如此继续下去，最后一次对U1n－1…U12x构造U1n，0）T，令U＝U1nU1，n－1…U12，则Ux＝‖x‖2e1，如果ξ1＝0，ξ2＝0，…，ξk－1＝0，ξk＝0（1＜k≤n），此时上面的步骤由U1k开始进行即可。

定理2设非零列向量x∈Cn，及单位列向量z∈Cn，则存在有限个复Givens矩阵的乘积，记为U，使得Ux＝‖x‖2z。

证由定理1，对于向量x，存在其中是复Givens矩阵，使得U（1）x＝‖x‖2e1；又对于向量z，存在，其中是复Givens矩阵，使得U（2）z＝‖z‖2e1＝e1，于是有U（1）x＝‖x‖2e1＝ ‖x‖2U（2）z，所 以 ［U（2）］－1U（1）x＝

定理3任何n阶复非奇异矩阵A＝（aij）可通过左连乘有限个复初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且对角线元素除最后一个外都是正数。

证先由det A≠0，知A的第1列b（1）＝（a11，a21，…，an1）T≠0，由定理1，存在有限个复 Givens矩阵的乘积，记为U1＝U1nU1，n－1…U12，使得U1b（1）＝‖b（1）‖2e1（e1∈Rn）

继续做下去，到第n－1步，由det A（n－2）≠0，知A（n－2）的第1列，由定理1存在复 Givens矩阵Un－1，使得Un－1b（n－1）＝ ‖b（n－1）‖2e1， （e1∈R2）， 令‖b（n－1）‖2，则有再令

因为U2＝U2nU2，n－1…U23，其中U2n，U2，n－1，…，U23都 是 复 Givens矩 阵，则也是复Givens矩阵；又所以是复Givens矩阵之积，因此，U 是有限个复Givens矩阵的乘积，使

记UA＝R，R是上三角矩阵，即A可以通过左连乘的复Givens矩阵化为上三角矩阵，且R的主对角线上元素，除最后一个外都是正数。再A＝U－1R，令Q＝U－1，即A＝QR，其中U－1是有限个复Givens的乘积，U－1是酉矩阵，R是非奇异的上三角矩阵，则得到任何n阶非奇异矩阵A都可用复Givens矩阵变换作QR分解。

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