有限差分逼近法的瞬态高温外推实验研究★

贾晓雯，郝晓剑，周汉昌

（中北大学 电子测试技术国防科技重点实验室，山西 太原 030051）

0 引言

分离变量法属于外推法理论，所谓外推法，就是已知被测物一个面的温度，运用传热学原理推导出被测物另一个面的温度。因为在高温、高压、高速和高冲击的恶劣环境中，测试温度并不容易，如枪炮膛内火药气体的温度，火箭燃气射流的温度等等，这些温度无法进行直接测试，所以温度外推就显得尤为重要。外推法的研究和应用早在20世纪40年代就开始了，当时联邦德国国防军试验基地在测试武器身管温度分布时，就是用图解法外推出膛壁温度[1]。此后，外推技术又有了进一步的发展，采取了分析法和分离变量法外推。美国的Hurray Imber 和 Jamal Kuan等人发表多篇论文，阐述了分析外推法及影响其精度的一些因素[2]。分离变量法对黑体腔膜层厚度要求较高，当膜层厚度太小时，用分离变量法外推出的结果是错误的。而有限差分法不存在这种情况，而且外推结果较为合理。

1 蓝宝石光纤黑体腔温度传感器测试系统组成及工作原理

蓝宝石光纤黑体腔温度传感器测试系统主要由黑体腔、蓝宝石光纤、锥形光纤、ST连接器、耦合模块、传输光纤、窄带低噪声光电探测器和数据处理模块等组成，装置示意图如图1所示。

在实际测温时，将黑体腔置于被测物测温点上，黑体腔发出波长为λ的热辐射信号，热辐射信号通过锥形光纤传导至耦合模块，ST连接器起到连接蓝宝石光纤与锥形光纤的作用，使得信号能够顺利传输，耦合模块可以使热辐射信号减少衰减，使信号最大限度地远距离传输。热辐射信号经传输光纤进入窄带低噪声光电探测器，将光信号转换为电信号，再通过数据处理模块绘制出温度—时间曲线。这里所得出的温度—时间曲线是黑体腔内表面的温度，黑体腔外表面的温度将由有限差分逼近法外推得出。

图1 蓝宝石光纤黑体腔温度传感器测试系统组成

2 有限差分逼近法外推原理

黑体腔模型如图2所示，在蓝宝石端部镀制一层高温陶瓷材料构成黑体腔。高温材料能够承受2000℃以上的高温。

图2 黑体腔物理模型

建立坐标如图2所示，因为黑体腔膜层很薄，所以把黑体腔导热看成是半无限大平板导热，即只考虑 坐标方向的导热。根据传热学原理，黑体腔传热数学模型[3]建立如下：

其中，u为待测温度 (℃ )，t为时间（s），α 为陶瓷材料的热扩散率(m2/s)，u0为初始温度(℃)，Lo为黑体腔长度 (m)，f为黑体腔膜层厚度（m）（在下文中也用 χp来表示f），up(t) 为 χp处等温面上的实测温度随时间t的变化。

这里要用到基于导数的有限差分公式的逼近替代任意χ=χo，t=to处的偏微分方程。任取∂u/ ∂t的时间前向差分:

其中，x0＜1＜x0+ ∆x。

因而在任意χ=χo，t=to处的热传导方程精确地化为:

当Δt 、 Δx足够小时，截断误差E趋于0，所以:

将沿x轴方向的黑体腔膜层厚度分为厚度相同的 m层，每一层的厚度为Δx，一次测试温度所用时间分为n等分，每一等分为Δt。记uk表示第i

i层在第k时刻的温度。令s= ∆t/ ( ∆x)2，则式（7）可表示为:

式（8）中s的取值很重要，若s取值不当，会引起外推结果的振荡现象。经理论分析，s= 1 / 2 最为合理。

有限差分逼近法外推原理如图3所示。*表示黑体腔的初始温度，将黑体腔膜层分为3层，xp层为黑体腔内表面，节点A、B、C 所在的一层为黑体腔外表面，由式（8）可知，由节点ui k、uik和uik+1可推导出节点uk的温度，如图3所示。测温时，i+1温度从节点A开始上升。外推时，先假设节点A的温度为uA，所以由节点A、1和2可推导出节点4的温度，由节点1、2和3可推导出节点5的温度。依此类推，可推导出与节点A相应的xp层上的温度u4，将u4与该点处的实测温度值u4相比较，设2者44xp允许的最大误差为e，如果则重新假设节点A的温度uA，重新推导出与节点A相应的xp层上的温度u44，直到这时节点A的温度uA即为黑体腔外表面该点处的真实值。由这种方法可推得节点B和C等黑体腔外表面各节点的温度。

图3 有限差分逼近法温度网格图

3 实验验证

实验验证示意图如图4所示，瞬态高温的产生和模拟可以通过美国相干公司的Diamond OEM K-500CO2激光器加热蓝宝石光纤黑体腔探头实现。黑体腔外表面的真实温度用经校准过的IRCON公司的Modline5-5R红外测温仪探测，Modline5-5R的测温范围为600℃～1400℃，响应时间可以达到0.01s，为单双色可切换式测温方式，发射率可以调节为与黑体腔材料的发射率相匹配，最小可探测到的被测物直径为0.0003m，而蓝宝石光纤的直径为0.0007m，满足测温要求。这样就可以得到两方面的温度变化情况，即黑体腔外表面的温度T0和由传感器测温系统测得的黑体腔内表面的温度T1。T1可以作为传热方程的边界条件来进行外推。如果外推温度T0′（ 曲线2）与红外测温仪探测到的温度T0（曲线3）在误差范围内是一致的，说明外推模型是正确的。

图4 实验验证方案

由于实验条件限制，采用温度值在1200℃左右进行验证。用Diamond OEM K-500CO2激光器给黑体腔探头施加瞬态高温，黑体腔内表面发出的热辐射信号转换成电信号，由数字存储示波器记录所输出的电信号。电压波形如图5所示。

图5 传感器输出的电压时间波形

将电信号转换成温度，由公式（9）计算[4]:

K为光电探测器灵敏度系数，K的具体值需要静态标定，实验标定结果为 =18.5357V/W。其中:

其中，a为黑体腔出口进入光纤的面积（m2），λ为辐射光波长(m)，T为绝对温度(K)，c1=3.74183×10-16(W·m2)为第一辐射常数，c2=1.43879×102(m·K)为第二辐射常数，λ0为干涉滤光片中心波长(m)，Δλ为带宽(m)。

根据图5和公式（9）可计算出黑体腔内表面温度值up，如表1所示。

表1 三类绘制方法比较

根据表1，用MATLAB拟合黑体腔内表面温度值，拟合结果如图6所示。黑体腔内表面温度最高值出现在53.5ms处，大小为964℃。

图6 黑体腔内表面温度—时间曲线

黑体腔长度L0=8mm,黑体腔膜层厚度Xp =50μm,黑体腔材料热扩散率 α=3.144 10-6m2/s。

在本次实验验证中将黑体腔膜层厚度分为5层，每一层的厚度 Δx=10μm，由已知数据表1、式(8)可求得黑体腔外表面的温度值如表2所示。

根据表2，用MATLAB拟合黑体腔外表面温度值，拟合结果如图6所示。黑体腔外表面温度最高值出现在49.7ms处，大小为1034.8℃。

表2 黑体腔内/外表面温度值

图7 有限差分逼近法外推曲线

在此实验条件下，用Modline5-5R红外测温仪测得的黑体腔外表面温度最高值为1174℃。与测温系统得到的最高温度值（964℃）相差210℃，与外推结果得到的最高温度值（1034.8℃）相差139.2℃，可见，用有限差分逼近法外推后得到的温度更加接近被测物的真实温度，结果更为合理。

4 误差分析

建模过程中引入了误差。一方面，在建模过程中假设黑体腔导热过程是一个半无限大平板导热，但现实中并不存在这样的半无限大平板；另一方面，建膜过程中采用了集中参数法的思想，即认为黑体腔膜层中任一层面的温度在同一时刻都是相等的，但实际导热过程并非如此。

在求解过程中引入了误差。在本次外推中只把黑体腔膜层分为5层，如果再进行细分（例如，分为10层、20层等），外推结果会更加准确，但是计算量也会相应增加，这种权衡在数值计算中通常都要出现。

[1]M.Gottlieb,G..B.Brandit.Fiber-optic temperature sensor based on internally generated thermal radiation[J].Appl.opt.,1981,20(19):485-187.

[2]F.Kreith,M.S.Bohn Principles of Heat Transfer[J].4th Ed,Harper & Row,1986, 136-137.

[3]王瑞.瞬态超高温测试的外推方法研究[D].太原:中北大学,2009:30-34.

[4]郝晓剑,孙伟,周汉昌等.蓝宝石光纤黑体腔高温计（EI收录）[J].应用基础与工程科学学报,2004,12（2）:218-223.

[5]王志海.黑体腔光纤高温测量仪及其应用[D].北京：清华大学，1989.

[6]Zhou Bing-kun.Fiber blackbody temperature sensor.China Patent:CN2046210U,1989.

[7]YE Linhua, SHEN Yonghang.Development of a Sapphire Fiber Thermometer[J].Journal of infrared and millimeterwaves, 1997, 16(6): 437-442.

[8]王俊杰.检测技术与仪表[M].武汉：武汉理工大学出版社，2002：39-40.