航空发动机闭环增益成形PID控制器设计研究

刘毅男，李述清，张胜修，周帅伟

(第二炮兵工程学院，西安 710025)

0 引言

PID控制是最早发展起来的控制策略之一。由于其结构简单、鲁棒性好、易于现场调试，PID控制也是迄今为止工业过程控制中应用最广泛的控制方法，几十年来对单变量PID控制参数设计方法也得到国内外的广泛研究［1］，著名的有 Ziegler-Nichols设定法、临界灵敏度法、极点配置法、增益相位裕度法等。但是PID控制有其固有的缺陷，即PID控制本质上只适用于定常被控对象。对于过程的某一特定工作点，采用常规PID参数设计方法就能使系统获得满意的控制效果。但对于操作条件改变的时变系统，由于其工作范围和特性变化较大，此时期望用一个PID控制器来完成对系统全工作范围的优良控制是不合适的，常规PID参数设计方法难以继续保持良好的控制品质［2］。因而利用鲁棒控制技术进行PID控制器的设计成为近年来人们研究的一个热点课题。针对模型不确定对象，通常采用的方法有:

1)依据某种与误差有关的最优性指标，通过优化指标来完成设计［2］，这类方法注重系统的响应品质，但是优化计算量较大;

2)基于特定鲁棒理论进行 PID控制器设计［3－4］，这类方法理论严密，但算法结构复杂，需要艰深的数学基础，缺乏工程直观性。另外，文献［5－7］基于闭环增益成形算法给出了一种简洁的鲁棒PID设计方法，在船舶控制中获得较好的效果。

目前国内外正在使用的航空发动机通常仍然使用传统的PID控制［9］。自然地，PID参数的整定方法成为人们关注的问题，并得到广泛研究［8－13］。但是，基本方法仍是优化方法或理论方法。对于航空发动机这种典型的工程应用对象，研究简洁而有效的PID设计方法是很有必要的。

对此，本文展开闭环增益成形PID方法在某型航空发动机控制系统设计中的应用研究，获得了有意义的结论。

1 闭环增益成形PID设计原理

对于一个典型的单位负反馈控制系统，被控对象为Gp，控制器为 Gc，闭环传递函数为 φ=GGc/(1+GGc)。闭环增益成形控制算法是在H∞鲁棒控制理论框架下提出的，它避免了权函数的选择而对系统进行闭环增益成形，其核心是确定期望闭环传递函数φ*的最终希望的形状，从而能保证设计出的控制器具有良好的鲁棒性和鲁棒性能。H∞鲁棒控制混合灵敏度优化问题，主要在求取一定的鲁棒控制器，使得闭环系统的灵敏度函数S和补灵敏度函数φ(即闭环传递函数)具有图1所示的典型形状［6］。

图1 典型S和φ奇异值曲线图Fig.1 Graph about singularity of S ＆ φ

为了简便起见，对于一个跟踪控制问题，设期望最终闭环系统具有下面一阶形式:

其中T为时间常数。显然，此时闭环系统φ*的截至频率为1/T，且其S和φ的奇异值线与图1相似。

即，直接由被控对象Gp表达式设计得到控制器Gc。

考虑二阶深严格真对象G=b0/(a2S2+a1S+a0)，代入式(2)，得:

显然式(3)中Gc具有传统PID控制器的形式:

对比式(3)和式(4)，可得PID控制器系数为

于是，式(5)即为PID控制器设计方法，这里称为LTR-PID。总结上述分析过程，该方法结合了理论指导的普适性和工程设计的直观性，设计步骤直接而简洁，计算量也很小，可以预设最终闭环系统截止频率，具有很强的工程实用价值。

2 仿真实例

2.1 航空发动机增益成形PID控制器设计

以某涡扇发动机主供油量Wf对风扇转速Nf的线性化数学模型为例，其传递函数为

式(6)为在0高度0马赫数下发动机线性化模型。为了简单起见，省略了增量符号Δ。发动机主供油量执行机构被视为时间常数为0.1 s的惯性环节，则闭环系统结构如图2所示。于是，被控对象应为发动机主供油量执行机构及发动机，且其传递函数为一高阶形式。通过传递函数单位阶跃响应拟合近似，可得其二阶深严格真形式的传递函数为

图2 闭环系统结构图Fig.2 Closed loop system structure

为获得合适的响应速度，取期望回路时间常数T=0.15 s，根据式(5)、式(6)易得 LTR-PID 控制器参数为:Kp=9.8382，Ki=20.4687，Kd=0.8501。另外，文献［8］给出优化PID控制器参数为:Kp=9.933，Ki=11.146，Kd=0.808。

考虑工程实现性，由于纯微分环节不能物理实现，几乎所有PID控制系统都会附加一阶低通滤波器来实现近似微分，即Gc=Kp+Ki·1/S+Kd·S/(1/N·S+1)，其中常数N一般取较大值。进一步，取值N=100，分别将LTR-PID控制器和文献［8］给出的优化PID控制器换成该形式，再将上述两组PID分别作用发动机转速控制系统所得阶跃响应比较，如图3所示，转速Nf阶跃响应保持明显的一阶响应特征，这与前面选取期望最终闭环系统为式(1)的形式一致。

根据图3中仿真结果，相比文献［8］提供设计方法，由于该LTR-PID控制器参数设计过程简洁，计算量小，以理论为指导又不失工程直观性，又能获得满意的控制效果，这很好地展现出该方法的快速性和有效性特点。

图3 转速Nf阶跃响应Fig.3 Step response of Nf

2.2 发动机模型摄动情形控制效果

典型地，对发动机标称模型G考虑如下加型摄动:

其中:系数dA反映系统实际发动机模型G*相比标称模型G的偏差程度。下面考虑模型摄动dA=0.8、1.2时，LTR-PID控制器作用效果，如图4中所示。转速Nf受发动机模型摄动有一定影响，但系统都能保持稳定，阶跃响应均无超调，且转速稳态精度控制一致。同时，受发动机模型摄动影响而使系统增益不同会导致主供油量Wf稳态值不同，这与图4中仿真结果相一致。

图4 考虑模型摄动情形闭环响应Fig.4 Simulation with model uncertainty

图4直观说明LTR-PID控制器对发动机模型摄动具有较好的鲁棒性能，也显示了在H∞鲁棒控制理论框架下发展的闭环回路成形设计方法的有效性。

3 结论

本文在文献［5］工作的基础上，扩展了闭环回路成形鲁棒PID设计方法在航空发动机上的应用，并对该型控制系统进行了仿真和比较。仿真结果表明:

1)本文设计所得PID控制器具有良好的控制品质，检验了PID设计方法的有效性;

2)相比文献［8］提供设计方法，该方法具有工程背景直观且便于理解，设计步骤直接而简洁，计算量小、鲁棒性能好的特点，具有很强的工程适用性。

进一步考虑，该方法完全可以用于PID控制参数优化初值的选取，这样可以极大减小初值选取的盲目性和经验要求，并有利于改善后续优化收敛。

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