一般Orlicz序列空间中的一点注记
2011-06-07段丽芬杨德清
段丽芬，杨德清
(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)
若
y，z∈B(lM，p){0}
满足2x=y+z，
且(i)集合
{i∈N:x(i)≠0}
为单元集或(ii)对任何
μ{i∈N:kx(i)∉SCM}≤1，
则
1 定义及符号
本文总以X表示一个Banach空间，B(X)、S(X)分别表示X的闭单位球和单位球面.
设
x=(x(i))i，y=(y(i))i，…
表实数序列，称
为x关于M的模.据[1]，线性集
关于p-Amemiya范数(1≤p≤∞):
成为Banach空间，并且这些范数是等价的.简记
文中其他定义与符号同[1](只要将LM,p改为lm,p).
2 主要结果及证明
为了方便，我们首先给出两个有用的结论.
引理2 对任何1≤p≤∞及x=(x(i))i∈lM，p{0}，都有
(i)若
则
(ii)若
(iii)若
由于这两个引理分别是[1]中引理4、引理5之(vi)和定理6的平行结果，其证明亦可平行获得(只要把函数改为序列即可)，且过程较冗长，这里略去.
利用它们，再证明一个引理.
引理3 设1≤p≤∞，则
ρM(kx)=ck‖x‖1，‖x‖M，p=c‖x‖1
这说明lM，p(1
当p=1时，若cM<∞，证明过程完全同1 若cM=∞，假设 x=(x(i))i∈ExtB(lM，p)，x(1)>0，x(2)>0 0≤M(u)/u≤M(v)/v(0≤u≤v)， p-(u/2)≥p+(u/3)(u>0)， 记ε∈(0，min{x(1)，x(2)}).定义 x1=(x(1)+ε，x(2)-ε，x(3)，x(4)，…)， x2=(x(1)-ε，x(2)+ε，x(3)，x(4)，…) 同理，‖x2‖M，1≤1. 但x1≠x2，这与x∈ExtB(lM，p)矛盾.结论得证. (ii)设 则存在实数a:0≤a≤1及满足 使得 x=ay+(1-a)z且‖x‖M，p=1. 注意到，对任何k∈R，都有 ρM(kx)≤aρM(ky)+(1-a)ρM(kz)<∞. 这样，θ-1(x)=∞. 师：是啊，人生得一知己足矣。都说，友情是一杯茶，需要慢慢品尝；友情是一杯酒，越陈越香。今天我们要学的课文就是跟友情有关的。 由引理1，对固定的 有 1=‖x‖M，p= 2≥‖y‖M，p+‖z‖M，p= 这蕴涵 ‖x‖M，p=‖y‖m，p=‖z‖M，p= 1=(2kz)-1sp∘ρM(2kzx)， 利用Sp的连续性和级数形式法都引理得，对任何正整数i， =M(2kzx(i)). Akz|y(i)|+M(kzsigny(i)z(i))= M(kz|y(i)|+kzsigny(i)z(i)). 无论题设(i)或(ii)哪条成立，都存在i∈N，使得2kzx(i)∈SCM.记 u=kzsigny(i)z(i)，v=kz|y(i)|， 则M(u+v)=M(u)+Av，利用M的凸性，有u≥0且对任何w≥v， 对任何0≤w 这蕴涵着对任何w≥0，都有 M(u+w)=M(u)+Aw. 所以u+v∉SCM，故2kzx(i)=±(u+v)∉SCM，产生矛盾. 参考文献： [1]Cui Y A，DUAN L F，HUDZIK H，et al.Basic theory of p-Amemiya norm in Orlicz Spaces :Extreme points and rotundity in Orlicz spaces endowed with these norms[J].Nonlinear Analysis: Theory，Methods & Applications，2008，69(5-6):1796～1816. [2]Orlicz W.Über Eine Gewisse Klasse Von Räumen Vom Typus B[M].Poland:Bull Acad Polonaise A，1932. [3]Luxemburg W A J.Banach Function Spaces[D].Delft-Netherland:Technische Hogeschoolte Delft，1955. [4]Chen S T.Geometry of Orlicz Spaces[M].Warszawa:Dissertations Math，1996. [5]段丽芬，崔云安.赋广义Orlicz范数的Orlicz序列空间的端点和强端点[J].华东师范大学学报:自然科学版，2009(1):53～60. [6]Cui Y A，HUDZIK H，NOWAK M，et al.Some Geometric Properties in Orlicz Sequence Spaces Equipped with Orlicz Norm[J].Journal of Convex Analysis，1999，6(1):91～113.
