稳定控制回路振铃现象的消除及其关键参数的选择＊

王文亮

（海军驻南昌地区某军事代表室 南昌 330024）

1 引言

在用Dahlin提出的闭环响应方法设计数字控制器时，不仅应关心系统的闭环响应，同时还应注意控制器输出量的上下变化。因为Dahlin控制器经常会产生所谓的振铃问题，它会使调舵面频繁地上下偏转，加速控制设备的磨损。这一现象在提出Dahlin控制器时就已被发现，并给出了修正设计方法［1～2］。后来又对此进行了分析。从修改期望的闭环传递函数入手提出一种新的设计方法。借助于内模结构分析了Dahlin控制器产生振铃的本质原因，指出Dahlin修正设计方法不能完全消除纯滞后引起的振铃，并针对一阶对象发展了一种能够避免振铃的更好的设计方法［3］。

本文将在以前研究的基础上，讨论Dahlin控制器存在振铃的可能性。首先，在复频域分析的基础上探讨了二阶对象期望闭环传递函数的合理形式。然后，通过对期望闭环传递函数和控制对象的分析找到了导致二阶对象Dahlin控制器产生振铃的原因，给出了判定振铃产生的条件。并且提出了修正设计方法。最后，以空地导弹稳定控制回路为例，通过对所建回路的分析并结合解决振铃现象中关键参数的选择方法，得出了单位阶跃信号下，稳定控制回路数字控制器的控制信号序列u（k）得到明显改善。本研究对于今后导弹控制效率的设计和提高控制系统的控制效率有着重要的研究和指导意义。

2 振铃现象及其消除方法

所谓振铃（ringing）现象，是指数字控制器的输出以1／2采样频率大幅度衰减的振荡。本文以俯仰通道为例，控制回路的结构图如图1所示，数字控制器输出控制信号序列u（k）如图2所示。由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响［4］。但是振荡现象却会增加执行机构的磨损，在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性［5］。

图1 导弹稳定控制回路结构图

图2 系统的控制信号序列

图3 系统的阶跃响应序列

设被控对象为带有纯滞后的二阶环节，即

对象为具有纯滞后的二阶惯性环节时，其z传递函数为

控制器的传递函数为式中

振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样周期、纯滞后时间的大小等有关，下面对振铃现象产生的原因进行分析。控制器输出U（z）与参考输入R（z）之间的关系为

是U（z）到R（z）的闭环脉冲传递函数。

对于单位阶跃输入函数R（z）＝1／（1－z－1），含有z＝1的极点，如果Wu（z）的极点在z平面的负实轴上，并且与z＝－1点相近，则由暂态过程可知，数字控制器的输出序列u（k）中将含有这两种幅值相近的瞬态项，而且瞬态项的符号在不同时刻是不相同的。当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强，符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器输出序列大幅度波动，这就是造成振铃现象的主要原因［6～7］。

对于带纯滞后的二阶惯性环节，有

式中

式（7）中有两个极点，第一个极点在z＝e－T／T0，不会引起振铃现象；第二个极点在z＝－c2／c1。由式（5）知，在T→0时，有

这说明可能出现负实轴上与z＝－1相近的极点，这一极点将引起振铃现象。

振铃现象的强度用振铃幅度RA来衡量，通常采用在单位阶跃作用下数字控制器第0拍输出与第1拍输出的差值来衡量振铃现象强烈的程度［8］。

由式（3）可知，Wu（z）是z的有理分式，写成一般形式为

忽略比例系数ksz－N的影响（相当于进行了归一化处理），在单位阶跃输入函数的作用下，数字控制器输出量的z变换为

所以

对于纯滞后的二阶惯性环节组成的系统，其振铃幅度由式（4）可得

消除振铃现象的方法是：先找到D（z）中引起振铃现象的因子（z＝－1附近的极点），然后令其中的z＝1。根据终值定理，这样不影响输出的稳态值，但往往可以有效地消除振铃现象。这一点可以通过式（3）得到验证，因为控制器D（z）的极点就是闭环脉冲传递函数Wu（z）的极点，因此Wu（z）中z＝－1附近的极点实际上包含在控制器D（z）的分母中［9］。

对于带纯滞后的二阶惯性环节系统中，数字控制器D（z）如式（3）所示，其极点z＝－c2／c1将引起振铃现象。令极点因子c1＋c2z－1中z＝1，就可以消除这个振铃极点。由式（4）得

消除振铃极点后控制器的形式为

根据式（8），当T→0时，有

取采样周期T＝2s，可知T1＝20，T2＝30，K＝10，N＝τ／T＝6，所设计的数字控制器传递函数模型为

这种消除振铃现象的方法虽然不影响输出稳态值，但却改变了数字控制器的动态特性，将影响闭环系统的暂态性能。

计算俯仰通道稳定控制回路的被控对象模型为纯滞后的二阶惯性环节

其中极点z＝－0.946将引起振铃现象，因此令（1＋0.946z－1）的因子中z＝1，于是控制器传递函数模型变为

以此控制器组成计算机控制系统进行控制，阶跃函数输入下系统的响应如图4所示。与图1相比，可以看出控制信号序列u（k）得到了很好的抑制，消除了振铃现象，但是系统输出响应的动态过程发生了变化，出现了超调，且过渡过程时间变长。

图4 令振铃因子z＝1后系统的控制信号和输出信号曲线

3 解决振铃现象中关键参数的选择

关于振铃现象的解决，前面已经介绍了通过令控制器传递函数中振铃因子式中的z＝1的方法加以消除，但结果是改变了控制器模型的结构，因此常常造成控制系统的动态性能变差，出现了如超调、过渡过程时间变长等。

有些工业应用场合，在尽量消弱振铃幅度的同时，不希望系统的动态性能有太大的改变，这种情况下可以通过选择合适的采样周期T及闭环系统时间常数T0＝1得以实现。

从式（12）可以看出，带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统中，振铃幅度与被控对象的参数T1、T2有关，与闭环系统期望时间常数T0以及采样周期T也有关。前者是被控对象固有的参数，无法改变，因此可以通过适当选择T和T0，把振铃幅度抑制在最低限度以内。在此情况下，闭环系统时间常数T0作为控制系统的性能指标被首先确定了，但还可以通过式（12）选择采样周期T来抑制振铃现象。

对于纯滞后系统，通过选择关键参数T和T0，削弱振铃现象影响的大林算法数字控制器设计的一般步骤如下［10］：

1）根据系统的性能，确定闭环系统的参数T0，给出振铃幅度RA的指标。

2）由式（12）所确定的振铃幅度RA与采样周期T的关系，解决给定振铃幅度下对应的采样周期T，如果T有多解，则选择较大的采样周期。

3）确定纯滞后时间τ与采样周期T之比（τ／T）的最大整数倍N。

4）计算对象的脉冲传递函数Wd（z）及闭环系统的脉冲传递函数WB（z）。

5）计算数字控制器的脉冲传递函数D（z）。

由俯仰通道稳定控制回路的被控对象模型可知，T1＝20，T2＝30，K＝10，取T0＝10。

选择采样周期T。根据式（12）振铃幅度与采样周期的关系如下：

由上面的数据可以看出，采样周期加大，振铃幅度并没有明显地减小，因此，选取采样周期T＝4s。

确定纯滞后时间τ与采样周期T之比，N＝τ／T＝12／4＝3。

确定对象的脉冲传递函数。根据式（2）和式（4），有

根据式（3），得数字控制器的传递函数模型为

此控制器组成计算机控制系统进行控制，阶跃函数输入下系统的响应如图5所示。从图中可以看出，控制信号序列u（k）的振荡幅度同图2相比，明显减弱，但是输出信号动态过程变化不大。

图5 调整采样周期后的系统控制信号和输出信号曲线

4 结语

Dahlin控制器是一种常见的数字控制器，由于振铃问题的存在限制了它的应用。以往的对振铃问题研究是根据经验进行的，本文则在通过以导弹稳定控制回路为对象，分析探讨了二阶对象Dahlin控制器的设计问题，通过系统输入到控制输出的传递函数证明，振铃的产生与期望闭环传递函数无关，而在于控制对象离散化时可能产生的负零点。令D（z）中引起振铃现象的因子（z＝－1附近的极点）z＝1，此方法能消除振铃现象，但会改变控制器模型的结构，因此常常造成控制系统的动态性能变差。为此，选择采样周期T来抑制振铃现象。仿真研究表明，此方法能够有效消除振铃。这对于今后导弹稳定控制回路的设计和有效提高控制系统的控制效率有着重要的研究和指导意义。此方法不但适用于导弹回路，对于过程控制中存在振铃现象的控制回路，均能有效抑制振铃现象，具有很广阔的应用前景。

［1］奥斯特罗姆K J，威特马克B.计算机控制系统［M］.王晓陵，等译.哈尔滨：哈尔滨船舶工程学院出版社，1987：36～37

［2］曹立学.大林算法在MIMO大滞后控制系统中的设计研究［J］.计算机与数字工程，2008，36（7）：4～6

［3］俞挺，陈应麟.达林算法在管道温度控制中的应用［J］.电气自动化，1998，20（4）：11～12

［4］李国勇，谢光明.控制系统数字仿真与CAD［M］.北京：电子工业出版社，2003：50～51

［5］郭东道.多变量系统设计的频率域方法［M］.西安：西北大学出版社，2004：13～15

［6］范承亚，谢宋和.Dahlin算法绝对稳定分析［J］.石油大学学报（自然科学版），1990，14（5）：95～100

［7］刘建昌，关守平，周玮，等.计算机控制系统［M］.北京：科学出版社，2009：55～57

［8］王锦标.计算机控制系统［M］.北京：清华大学出版社，2008：46～48

［9］柴天佑.多变量自适应解耦控制及应用［M］.北京：科学出版社，2001：22～24

［10］孙增圻.计算机控制理论与应用［M］.北京：清华大学出版社，2008：38～40