动力系统非连续单一叠加结构界面变形与能量损耗特性

邵毅敏，肖会芳

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044;2.长沙理工大学 汽车与机械工程学院，长沙 410004)

在动力系统中，存在着众多界面，这些界面承担着动力耦合、能量传递的重要作用。但是，由于其不确定性，导致对其的数学描述异常困难。同时，通过机械加工处理的实际工程结构表面，也并非绝对光滑，而是具有不同程度的粗糙度。振动与能量经过这些粗糙界面时，具有怎样的传递与损耗行为，对描述动力系统的振动特性与能量特性至关重要，也是研究较少的难题。

有关振动与能量在多界面传递的研究集中在多层复合材料结构［1－5］。这些研究大多假设多层复合材料结构在界面处是连续的，这与动力系统的非连续界面存在本质区别，因此对多层复合材料结构连续界面的描述并不适用于动力系统的非连续界面。而有关非连续－粗糙多界面振动、能量的传递与损耗特性的研究极少，需要开展其研究。

本文建立了“单层绝对光滑金属板－刚性平面”模型和“单层粗糙金属板－刚性平面”模型，采用有限元方法，对加载与卸载过程中，具有不同界面形态，不同塑性材料特性和界面摩擦的单层模型界面的能量损耗进行计算分析，集中研究了单一界面上，由塑性变形和界面摩擦引起的能量损耗特性。其中，三维粗糙表面由修正的两参数 Weierstrass－Mandelbrot函数生成［6］。本文所采用的有限元计算方法的有效性，拟采用与Hertz接触理论［7］的结果对比进行验证。

1 “单层金属板－刚性平面”界面模型

1.1 模型描述

研究单一界面上能量损耗特性的“单层金属板－刚性平面”模型示意图如图1所示。图1(a)和图1(b)中，金属板与刚性平面的接触面分别为绝对光滑平面和具有一定表面形貌的粗糙表面。

图1 “单层金属板－刚性平面”模型示意图Fig.1 Sketch diagram of“single metal panel－rigid plane”model

金属板与刚性平面之间的接触为弹－塑性接触。文献［8］对弹塑性接触过程中，塑性区域的发展过程进行了详细的描述。与文献［8］的方法一致，在本文的研究中，塑性区域的发展过程通过金属板塑性材料的硬化准则来描述。通过采用不同的硬化准则来研究材料属性对界面能量损耗的影响。

图2为具有不同硬化准则的应力－应变关系，图2(b)所示的线性应变硬化应力－应变关系为:

图2(c)所示的非线性应变硬化应力－应变关系为:

不同材料卸载时的应力－应变关系均为线弹性。

图2 应力应变关系Fig.2 Stress strain relationships，(a)elastic(EL)，(b)linear hardening law(LH)，(c)nonlinear hardening law(NLH)，and(d)elastic－perfectly plastic(EPP)

对图1所示的模型，在金属板上进行位移载荷的加载和卸载，求取界面处的接触力，绘制加载和卸载过程的力－位移曲线，曲线形成封闭区域的面积即为界面上的能量损失。

图1(b)中，具有表面形貌的三维粗糙表面由修正的两参数Weierstrass－Mandelbrot函数生成，

其中:L为样本长度，G为分形粗糙度，D为表面分形尺度(2＜D ＜3)，Ls为截断长度，γ (γ ＞1)为缩放参数，M为生成分形表面的脊线数量，n是频率因子，nmax=int.［log(L/Ls)/logγ］，Φm，n是［0，2π］内的随机相位。表面的粗糙程度通过尺度独立的分形参数D和G控制。根据实验测试结果，D 的范围为［2.3，2.7］，G 的范围为［1.36e－13，1.36e－10］m。文献［6］对 Weierstrass－Mandelbrot函数进行了详细介绍。图3是在Matlab7.0中用式(3)所示的两参数 Weierstrass－Mandelbrot函数生成的三维粗糙表面，各参数分别为 D=2.4，G=1.36e－10m，L=9e－7m，Ls=1.5e－7m，M=10和γ =1.5。

图3 三维粗糙表面Fig.3 A sample Weierstrass－Mandelbrot surface

1.2 有限元计算模型

本文采用商用有限元软件进行模型的求解计算。图4是分析计算的有限元模型。三维金属板用SOLID185单元离散，SOLID185单元的每个节点具有3个方向的平动自由度。金属板与刚性平面之间建立接触对，接触对通过点－面接触单元对TARGE170和CONTA175识别。接触单元CONTA175覆盖在金属板的接触表面，用来描述变形体的边界条件，并与目标单元TARGE170进行接触。刚性表面进行全约束，金属板的上表面节点仅具有Z方向的自由度。位移载荷通过两个载荷步施加在金属板的上表面节点，第一个载荷步为加载过程，第二个载荷步为卸载过程。通过求取刚性平面的反力，获得金属板与刚性平面之间的接触力。绘制加载和卸载过程的位移－接触力曲线，曲线形成的封闭区域的面积即为界面处的能量损失。计算过程中，每个载荷步包含多个载荷子步，使得位移载荷被逐渐施加在金属板上，从而使金属板与刚性平面缓慢地接触和分离，最大载荷步和最小载荷步分别设置为400和50。接触算法采用Augmented Lagrangian算法。力的收敛准则设为0.001。

图4 有限元计算模型Fig.4 A sample of finite element mesh of rough solid and rigid plane，(a)smooth interface，(b)rough surface interface

2 有限元计算方法有效性的验证

采用限元方法模拟Hertz接触与Hertz理论计算结果对比的方法，检验本文所采用的有限元计算方法处理接触问题的有效性。Hertz接触关系的示意图如图5所示，两个半径分别为R1和R2的三维长圆柱体进行无摩擦接触。建立Hertz接触的有限元模型的方法、离散圆柱体的单元类型、识别界面接触的接触单元类型以及接触算法与本文1.2节建立界面接触的有限元模型保持一致。通过有限元计算求解接触半宽b和接触变形量d，并与Hertz接触理论计算结果对比［7］。对比结果如表1所示。从表中可以看出，有限元计算结果与Hertz理论计算结果的误差小于4%，说明本文所采用的有限元计算方法处理接触问题是准确、可靠的。

图5 Hertz接触示意图Fig.5 Sketch of the Hertz contact

表1 有限元和Hertz理论计算结果对比Tab.1 Results comparison between FEA and Hertz solution

3 计算结果与分析

表2是本文计算采用的材料参数。计算完成后，提取法向接触力和变形量并无量纲化:fn=Fn/E’A0，δ=z/L，其中 A0为名义接触面积(=L2，L为样本长度)，E’为复合弹性模量(E’=E/(1－ν2)，E为弹性模量，ν为泊松比)，绘制位移－力曲线。

表2 材料参数Tab.2 Material parameters used in calculations

3.1 界面无摩擦

3.1.1 弹性材料

图6为金属板具有弹性材料属性，界面无摩擦，最大法向位移δ=0.02时，加载和卸载过程的力－位移曲线。从图中可以看出，加载和卸载的力－位移曲线完全重合，无能量损失。

3.1.2 弹塑性材料

3.1.2.1 接触力－变形曲线

图6 弹性材料，粗糙界面，加载与卸载的力－位移曲线Fig.6 Loading and unloading non－dimensional normal force vs.non－dimensional normal displacement of rough surface model with elastic material

图7为具有不同界面形态的无摩擦界面，具有非线性应变硬化材料特性，位移为 δ=0.02，加载后的等效塑性应变。在光滑界面上(a)，塑性应变在界面上呈比较规则的由内向外的“环状”分布。在接触初始阶段［图(a)］，最大塑性应变位于中心区域，由中心向边界逐渐减小，最小塑性应变位于四个角点。与光滑界面不同，在粗糙界面上(b)，接触初始阶段，实际接触面仅为一些点和很小的面，面积远小于整个粗糙面面积，在接触点处发生应力集中，其应力值高于屈服应力而产生塑性变形。

图8为金属板具有弹塑性材料属性，界面无摩擦，不同界面形态［光滑界面(a)和粗糙界面(b)］，最大位移分别为 δ=0.02，0.04，0.06，0.08 和 0.1 时，加载和卸载过程的力－变形关系曲线。其中(ⅰ)为线性应变硬化材料属性，(ⅱ)为非线性应变硬化材料，(ⅲ)为理想弹塑性材料。

图7 不同界面形态，无摩擦，非线性应变硬化材料，δ=0.02，加载后的等效塑性应变Fig.7 Equivalent plastic strain of different frictionless interfaces for nonlinear hardening material with δ=0.02

图8 界面无摩擦，不同界面(a)光滑界面(b)粗糙界面，不同材料属性(ⅰ)线性应变硬化(ⅱ)非线性应变硬化(ⅲ)理想弹塑性，加载与卸载的力－变形关系曲线Fig.8 Plots of force vs.displacement for different interfaces of different material models(ⅰ)linear hardening;(ⅱ)nonlinear hardening;(ⅲ)elastic－perfectly plastic

图8显示，对弹塑性材料，加载曲线和卸载曲线并不重合，而存在一定的滞回面积。加载过程中，接触力随着位移呈非线性增加，界面处的接触刚度为非线性刚度。对粗糙表面［图(ⅰ－ⅲ)(b)］，在初始接触阶段，刚度几乎为0(曲线的斜率几乎为0);随着接触过程的进行，接触刚度逐渐增大(曲线的斜率逐渐增大);当位移增大到一定数值后，刚度几乎保持不变(曲线的斜率为定值)。而对光滑表面(图(ⅰ－ⅲ)(a))，初始接触阶段的刚度为整个接触过程中的最大;随着接触过程的进行，接触刚度的变化与粗糙表面一致，也是逐渐增大(曲线的斜率逐渐增大);当位移增大到一定数值后，刚度几乎保持不变(曲线的斜率为定值)。卸载过程中，接触力随着位移呈线性递减。

加载过程中，在相同位移载荷下，线性应变硬化材料(LH)的接触力大于非线性应变硬化材料(NLH)和理想弹塑性材料(EPP);非线性应变硬化材料(NLH)的力－位移曲线形状与理想弹塑性材料(EPP)几乎一致，而接触力大于理想弹塑性材料(EPP);同时，光滑界面的接触力大于粗糙界面。卸载后，线性应变硬化材料会发生一定的回弹，而非线性应变硬化材料和理想弹塑性材料几乎没有回弹。加载曲线和卸载曲线形成的封闭区域的面积即为界面上的能量损失。

3.1.2.2 能量损耗－变形曲线

图9 无摩擦，不同界面，不同材料属性能量损耗－变形关系曲线Fig.9 Plots of energy loss vs.displacement for different interfaces of different material models

图9为界面无摩擦时，不同材料属性，不同界面形态，界面处的能量损耗随位移的变化曲线。图8显示，界面形状和位移载荷相同，金属板具有线性应变硬化材料属性(LH)时，界面处的能量损耗最大;金属板具有理想弹塑性材料属性(EPP)时，界面处的能量损耗最小;光滑界面的能量损耗大于粗糙界面。

3.2 界面存在摩擦

实际中，界面处总会存在摩擦。本节研究界面存在摩擦时的金属板的塑性应变，力－变形曲线以及界面能量损耗特性。界面存在摩擦时的有限元计算模型与文2.2节相同，不同的是界面处增加了摩擦因子μ=0.2。金属板的材料属性为非线性应变硬化材料(NLH)。

3.2.1 接触力－变形曲线

图10为界面存在摩擦，金属板具有非线性应变硬化材料属性，光滑界面(a)和粗糙界面(b)，最大位移分别为 δ=0.02，0.04，0.06，0.08 和 0.1 时，加载和卸载过程的力－变形关系曲线。与图8(ⅱ)界面无摩擦的曲线相比，界面存在摩擦时:力－位移曲线形状一致，即界面的接触刚度变化趋势一致;在相同位移下，接触力增大，界面处能量损耗增大。

图10 界面有摩擦，界面具有非线性应变硬化材料属性，加载与卸载的力－变形曲线Fig.10 Plots of force vs.displacement for different interfaces with friction for nonlinear hardening material

3.2.2 能量损耗－变形曲线

图11显示了界面摩擦对界面处的能量损耗的影响。从图中可以看出，界面材料、界面形态和载荷相同，界面存在摩擦时，界面的能量损耗增大。但与界面无摩擦相比，能量损耗——变形关系曲线的形状基本一致，即在相同变形量内，能量损耗增量相同。

图11 有摩擦，不同界面，非线性应变硬化材料属性的能量损耗－变形关系曲线Fig.11 Plots of energy loss vs.displacement for different friction interfaces of nonlinear hardening material model

3.3 界面能量损耗表达式

为描述界面上的能量损耗与界面属性的关系，包括界面形态、界面材料和界面摩擦，本文定义能量损耗因子U，其表达式为:

其中，U为无量纲界面能量损耗因子，δ为无量纲变形量;系数A，B，C是与界面属性相关的参数，由界面材料，界面表面形态和界面摩擦等决定。对本文的界面模型，系数A，B，C如下表3所示。

4 结论

本文通过建立“单层绝对光滑金属板－刚性平面”和“单层粗糙金属板－刚性平面”的单界面模型，运用有限元方法，对具有不同界面形状、不同塑性材料特性和界面摩擦的单层模型界面，在不同载荷作用下，加载和卸载过程中的塑性变形、接触力以及由塑性变形和界面摩擦引起的能量损耗特性进行了研究，并建立了描述界面能量损耗特性的表达式，主要结论如下:

表3 能量损耗关系表达式系数表Tab.3 Coefficients of energy loss expression

(1)本文建立的能量损耗因子表达式可描述界面能量损耗与界面变形和界面属性的关系。

(2)对具有不同弹塑性材料特性的不同形态界面，加载和卸载的接触力－位移曲线均存在一定的滞回面积。加载过程中，接触力随着位移呈非线性增加，界面处的接触刚度为非线性;卸载后，线性应变硬化材料(LH)会发生一定的回弹，而非线性应变硬化材料(NLH)和理想弹塑性材料(EPP)几乎没有回弹。

(3)变形相同时，线性应变硬化材料(NL)的界面能量损耗因子最大，而理想弹塑性材料(EPP)的界面能量损耗因子最小;位移载荷和界面材料属性相同时，光滑界面的能量损耗大于粗糙界面。

(4)摩擦增加了界面的接触力和界面处的能量损耗，但并没有改变力－变形曲线和能量损耗－变形曲线的形状，即并没有改变界面处的接触刚度和能量损耗随位移的变化趋势。

下一步的研究将集中在振动和能量在多层叠加结构的非连续粗糙多界面上的传递机理和损耗特性。

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