时频二维逼近及在故障分量提取中的应用

刘小峰，柏 林，赵 玲

(重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044)

机械振动信号中通常包含了多种故障特征分量以及各种干扰噪声，他们相互作用、相互干扰，且它们大多数都是非平稳信号，给正确故障诊断带来了很大的困难［1］。如果能将故障信号中的特征分量提取出来作进一步分析，将为机械故障准确诊断提供更有力的判断依据。常用的非平稳信号提取方法是，在往往将故障信号变换到时频空间，使得在该空间中的各故障信号相互独立，相互分离，再采用时频滤波的方法最大限度地提取出分量时频区域进行重构，以达到分量提取的目的。这种时频滤波的提取方法较一维的线性滤波算法具有更好的自适应性和较强的鲁棒性，更适用于非平稳非线性时变信号的分析处理，但不适合时频重叠的分量提取，并且必须满足时频唯一重构的条件［2］。另外一种非平稳信号处理方法是基于基函数的信号分解法，常用复杂噪声中的于非平稳信号提纯。这种时域一维逼近方法是将信号投影到预先选取的若干个向量上，根据待分析信号在基信号投影距离最短化原则来确定扩展系数和基函数参数，也就是在时域内用很少的正交基向量来有效地逼近某一类信号。这种时域一维逼近方法对于一致正则的信号提取是十分精确的，而对于有不同类型的时频结构的复杂信号不能产生很好的逼近效果［3］－［4］

本文结合时频滤波和时域一维逼近方法的原理与优点综合，发展了一种时频二维逼近的故障分量提取方法。该方法根据信号分量的具体特征设计相应的信号模型，并从信号时频域出发，在时频重排的基础上采用曲面拟合方法来确定基函数簇各个参数值，再采用各个拟合出的基函数的线性组合重构出所需提取的信号分量。文章最后列举了仿真信号分析实例和轴承故障诊断实例对该方法进行了验证。实验结果表明，使用本文所提出的方法只需少量的拟合步骤即可精确地提取出所需的信号分量，对故障信号特征起到了准确定位的作用。

1 时频重排

时频二维逼近方法是采用信号模型的时频函数对被分析信号的时频分布进行二次曲面拟合，因此，选择能够真实反映被分析信号时频特征的时频变换方法是确保分量精确提取的首要条件。目前的时频分析方法主要有短时傅里叶变换(STFT)、Gabor变换、以Wigner变换(WVD)的二次时频分布，这几种时频分布都不可避免地存在着时频分辨率不够理想或交叉项干扰的问题［5，6］。重排时频分布可以兼顾时频聚集性和交叉项的抑制且计算也相对简单。这种方法的基本原理是代表信号局部能量分布的非线性卷积的值由卷积核的几何中心重排到其质量中心，以提高时频谱图的时频聚集性［7］。

重排变换过程可以表述为:对原始信号z(t)首先进行STFT变换:

将信号z(t)的STFT的幅进行平方运算得到STFT谱图，即:

可以将谱图看作是信号的WVD和分析窗η(t)的WVD的二维卷积:

这个分布减小了信号WVD分布的交叉项，但却以降低时频分辨率为代价。重排方法就是将谱图在任一点(t，f)处计算得到的谱图移动到另外一点(t^，f^)，这个点是点(t，f)附近信号能量的重心，即:

2 时频二维逼近

前面我们讨论了，时频重排是建立在STFT的基础上的，它具有能量集中、时频域分辨率高的特点，可以使信号特征在时频面上得以真实呈现。如果用一组基函数时频分布曲面来拟和原始信号的时频曲面，由于基函数与其时频分布的对应的关系，也就相当于用基函数的线性叠加来逼近原始信号。在拟和的过程中，基函数的特征参数能够随着被分析信号的局部时频特征自动调节，以达到最佳匹配效果。

对于这种信号分量的模型逼近方法，基函数的选取举足轻重，一般应遵循以下两个原则，首先，基函数应能够描述被分析信号的局部特征，也就是要尽量选择与被分析信号结构相似的基函数;其次，基函数应具有良好的时频分辨能力。对于机械系统而言，可以从信号产生机理出发，以系统的动力学方程为基础对分量模型进行初步设计，然后再辅以模拟仿真试验对模型进行校正。对首先信号产生机理研究，对信号系统进行动力学建模，对于机械系统另一方面也可以增加模型参数。在模型参数选择时还应注意，增加分量的模型参数，虽然会提高了基函数对具有非线性时频关系信号的匹配能力，但另一方面也增加了模型参数计算的复杂度。而设计的分量模型参数太少，就会增强了却不同分量之间相似度，削弱不同分量之间的差异度，不利于分量的精确提取。

假设设计出的模型函数为 hqk，pk，fk，uk(t)，简写为hk(t)。其中，t为模型函数的自变量，qk，pk，uk，fk是模型函数hk(t)的待定参数。基于时频二维逼近方法的信号分量提取方法的步骤可简述如下:

(1)根据式(1)－式(5)，选定分析窗函数η(t)，并计算被分析信号zk=0(t)(k表示迭代次数)的STFT重排时频谱，表示为(t，f);

(2)根据所需提取的分量特征设计相应的信号模型，表示为hk(t)，并计算其Wigner－Ville时频分布，表示为 Whk(t，f);

(3)用Whk对zk=0(t)的重排时频谱RSPηz=0(t，f)用最小二乘法进行曲面拟合，即，

非线性最小二乘法的意义就是要适当确定hk的参数 qk，pk，uk，fk，使根据 Whk算出的能量值与逼近信号能量值之间的残差平方和Δ为最小。其求解方法是计算Δ 对各个系数 qk，pk，uk，fk的偏导数，并令其为 0，即∂Δ/∂αi(αi=qk，pk，uk，fk)，可得到 4 个联立方程:

由于可以把Δ看成自变量为qk，pk，uk，fk的一个4元函数，所以问题就归结为求方程组(7)的解，而(7)为非线性方程组不便直接求出各参数的精确解，因此这里采用了经典的高斯－牛顿法来进行参数求解。具体做法是在初始值 αi0处将 fj(α1，α2，α3，α4)展开泰勒级数，并取其一阶近似:

这里 fj=1，2，3，4表示第 j个方程，αi=1，2，3，4，5代表第 i个参数，α1，0，α2，0，α3，0，α4，0是 qk，pk，uk，fk的初始值。只要:

我们得到:

可写成迭代形式:

每次的迭代值 α1，m比上次迭代值 α1，m－1要更逼近估计参数 α1，迭代过程直到为容许误差)，结束，从而获得α1的非线性最小二乘估计。按照上述方法，依次可求得α2，α3，α4的估计值，也就是确定了hk的各项参数。

(4)从逼近信号中减去步骤(3)求得的分量，即，zk+1(t)=zk(t)－hk(t)，每次拟合时，总是先拟合出残余信号zk(t)中与模型函数时频分布最相近的时频区域，也就是提取出与能够用信号模型表达出的信号分量;

(5)重复上述步骤n次后，设第n次拟合出的信号分量为hn(t)，残余信号为zn+1(t)，定义第n次拟合出信号分量与重构信号之间的能量比作为拟合分量信号能量下降的一个测度:

随着拟合次数的增多，当大部分信号分量已经提取出来，拟合出分量的能量就会越小，则SNRk越小，重构精度越高。因此，可以以此来控制分解迭代次数k。设定门限值P，当SNRk小于P时分解停止。

因为曲面拟合时采用的是具有较高时频聚集性的信号模型基函数，所以在拟和时总是先拟和出与基函数时频特征相似且能量集中的信号分量，然后才轮到时频特征相差较大或时频能量较分散的其它信号分量或噪声。本文正是利用这种分量被拟和出的先后关系，进行信号分离的。经过前几步拟合信号的大部分有用成分已经被提取出，随着分解次数的增加，残余信号中与模型相匹配的成分越来越少，提取的信号成分的能量就越来越少。当残余能量变化趋于平缓，可以认为这时的残余信号主要由干扰信号组成。设定这时的SNRk的为门限值P，以此来控制分解迭代次数k。

(6)选择拟合出的基函数及其扩展系数的线性组合重构出所需要提取的信号。

3 方法性能分析

传统的信号时频分解法都是将信号分割成短时间内频率线性变化的基函数，如短时傅里叶变换是将信号在短时间内将信号分解成谐波分量、小波变换选择的基函数是小波函数、自适应分解选择的基函数是高斯调频小波，而本文提出的时频二维逼近方法采用的基函数是信号分量的随时间变化的统一模型。因此，对于同一个分量而言，时频逼近方法在模型设计恰当的情况，只需分解迭代一次就可以完成，而上述传统方法则需要将其分割成若干个时间段，分别进行逼近，很显然，前者需要的分解迭代次数明显要少于后者。另外，时频二维逼近方法是从信号的时域特征和频域特征对同时信号进行逼近，而传统方法是在时域内对信号特征进行逼近，因此前者分解重构的信号分量的失真度更小。

传统时频分解方法是将信号分解成短时间的的基函数，如果噪声在某段时间内的时频特性与信号分量相似，那么在时频谱内就很容易将其看作有用信号分量。本文提出的时频逼近方法是对信号分量进行建模，而非将其作短时间的分割处理，因此只要噪声与信号分量的时频特征有所不同，不管是有色噪声还是白噪声，其分解迭代受到噪声干扰不大。

传统的基于时频滤波的信号提取方法大都是建立在时频加窗的基础上，采用时频加窗方法提取出信号分量的时频区域，再进行时频信号到时域信号的反变换。这种方法必须要满足信号分量的时频区域是不能交叠的，否则时频加窗无法进行，而且还应满足时频信号到时域信号的唯一重构的条件。本文提出的时频逼近方法在进行信号提取时只用到了信号的具体的时频分布函数和信号模型，而与其时频分布到底是何种特征，信号分量的时频区域是否交叠无关，只与信号的时频分布质量和分量模型的设计质量有关。

4 仿真信号分析

为说明基于时频信号逼近的自适应时频分布的有效性，我们构造如式(13)的多频信号。该信号由两个瞬态冲击信号组成，一个线性调频信号及一个二次调频信号。

n(t)为标准偏差为2的白噪声。仿真信号的采样频率为2000Hz，采样点数为1000。假设我们需要提取的是仿真信号中的两个瞬态冲击信号，图1(a)为仿真信号的时域波形，从图1(a)中可以看到，瞬态冲击信号几乎完全淹没在其他信号分量及噪声中，无法分辨。

图1 仿真信号及其频谱Fig.1 The simulation signal x(t)

从仿真信号的频谱图［图1(b)］中，可以看到，各个分量的带相互重叠，无法用常规滤波方法提取出瞬态冲击分量。基于时频滤波的分量提取方法通常要将信号分量所在的时频区域提取出来，然后进行时频重构，这种方法必须满足信号时频区域能够提取，并且时频信号满足唯一重构的条件。从图2(a)的仿真信号Gabor变换时频分布可以看出，由于噪声干扰太大，信号分量时频区域无法提取。图2(b)为仿真信号的重排时频分布，它能同时刻画出信号的非线性和性形成分，较真实地显现信号分量的频率随时间的演化过程，而且冲击分量的时频区域与其他分量与噪声完全分离。基于时频重排可以提取出冲击信号的时频区域，但是这种重排时频分布并不满足时频信号唯一重构的条件。同样，WVD的交叉项干扰严重，无法准确反映信号的时频特征，Chirplet自适应分布随无交叉干扰，但Chirplet基函数的时域逼近会产生太多的信号截断，引起信号分量的严重失真。因此，采用传统的时频滤波方法无法提取出我们所需的信号分量。

图2 x(t)的时频分布比较图Fig.2 The TF representation of x(t)

下面采用本文提出的时频二维逼近的方法对仿真信号中的冲击分量进行提取，建立如式(14)中的冲击模型，

并采用其WVD时频分布来对图2(b)中的重排时频信号进行二次逼近，拟合两次后得到的 qk，pk，uk，f，wk参数值分别为:

将参数值带入式(2)中进行信号重构，重构出的冲击分量如图3所示，可见信号分量除了在幅值上有一定误差外，重构效果是十分理想的。

5 故障诊断实例分析

为了说明基于时频二次逼近的信号分量提取方法在机械故障诊断中的适用性，下面以轴承故障信号作为该方法的应用实例进行了具体分析。

当滚动轴承的某一元件表面存在局部故障时，在轴承的旋转过程中，故障表面会周期性地撞击滚动轴承其它元件表面，从而会产生周期性的冲击。这些冲击会激起轴承系统的中、高频固有振动。表征轴承故障特征的低频成分由于易受其它机械零件和结构的影响，信噪比较低，所以通常使用包含固有振动的中频成分作为轴承故障诊断分析的对象。图4是一外圈严重剥落的滚动轴承振动加速度信号的时域波形，经计算其故障特征频率为45.6Hz，该轴承的一阶固有频率约3000Hz左右，设置的分析频率为5000Hz(采样频率12.8 kHz)。下面采用本文提出的时频信号逼近方法对轴承信号中的冲击成分进行提取。机械系统的冲击信号通常可表示为负指数函数与正弦函数的乘积，研究表明式(14)中hk(t)作为冲击瞬态信号的逼近模型是非常理想的［8］。

五次逼近后得到的基函数进行重构，得到如图5中的时域波形。在得到的五组基函数［h1(t)，h2(t)，h3(t)，h4(t)，h5(t)］的时间中心参数 u1，u2，u3，u4，u5之间的平均时间差为0.021 s，相应的频率为47.5Hz 与外圈的故障频率相近;5 组基函数的 f1，2，3，4，5的平均值为 2978Hz，接近固有频率 3000Hz;q1，2，3，4，5的平均值约为2.28/(m·s－2)。这说明轴承外圈，在运转时出现了故障产生了宽频冲击信号，激起了轴承的共振，使轴承振动幅度大大增加。从提取的冲击信号的幅值可知故障较严重，与事实相符。可见这种时频信二维逼近方法可以较精确地对轴承故障进行定位，并对故障原因及故障程度提供相应的判断依据。

图3 时频二次逼近后重构的信号分量Fig.3 The reconstructing components of simulation signal

图4 轴承信号的时域波形Fig.4 The bearing viberation signal

图5 提取的轴承信号冲击分量Fig.5 The bearing Impulse components extracted

6 结论

时频二维逼近的分量提取方法适合于分析非平稳复杂的多分量故障信号，它摒弃了传统自适应信号分解的时域一维逼近方法，不受噪声种类及信号时频分布特征的影响，精确地对故障信号中的特征成分进行快速分离。通过本文的分析，基于时频二维逼近的故障分量提取方法主要有以下几个特点:

(1)时频二维逼近的基函数分解法，对比短时傅里叶变换、小波变换、自适应分解等这些传统的基函数信号分解方法，其迭代的次数更少，信号分量的重构失真度更小。

(2)基于时频二次曲面拟合的信号分量提取方法，对信号的噪声种类没有要求，不管是有色噪声还是白噪声，均不影响信号分量的提取效果;而且信号分量的时频分布特征对分量提取的效果影响不大，不管所需提取的信号分量与其他分量在时频区域内是否交叠，二维逼近的方法均可得到较理想分量提取效果。

(3)本文提取的时频二维逼近的故障分量提取方法可适用于各类分量的提取，具有较强的适用性和广泛性，只要能够较准确地建立信号分量的参数模型，均可达到较理想的提取效果。

(4)要指出的是，这种时频二维逼近方法必须对所需提取的信号分量进行统一的建模，设计模型的优劣对分量提取的效果有较大的影响。关于模型的进一步的优化设计问题还有待下一步的分析研究。

(5)被分析信号的时频变换方法的选择对分量的提取精度影响也较大，选择的时频分布要求兼顾时频聚集性与抗交叉项干扰性。对于时变成分十分相近的信号分量，采用本文选择的重排时频分布仍然无法得到较好的时频分布质量，这时，可以尝试用时频分布级数进行替换。

总而言之，本文以仿真信号和轴承故障信号为分析实例，成功应用上述方法匹配出轴承信号中的冲击信号，达到了正确诊断故障的目的。这种方法为特征提取、故障诊断提供了新的工具，具有较好的应用前景。

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