基于阿基米德螺线的稀布面阵综合方法

王广鹏

(电子科技大学 成都 611731)

1 引言

近年来，由于在雷达、声纳、医学交流和图像处理等领域的广泛应用，平面阵列成为阵列设计研究的热点。当平面阵列孔径较大时，阵元间距为半波长的均匀平面阵列需要相当多的阵元，这使得天线系统的成本较高。为保证阵列具有高的空间分辨率，低的副瓣特性等性能，同时又尽量降低天线系统的成本，采用稀布天线阵元位置的方法来设计平面天线阵列是一个不错的选择。

平面阵列稀布综合设计是一个非常复杂的非线性问题。在阵元最小距离约束为某一特定值时，稀布线阵综合设计中阵元位置的选择只受到直线上与之相邻的已经选定位置的那个阵元的约束，而在平面阵列中，选择阵元位置时需要在二维平面内考虑是否与相邻阵元满足距离约束条件，这时，对阵元位置选择构成约束的相邻阵元数不止一个。当平面阵列上阵元个数较多时，问题将会变得非常复杂。文献[1]中提出一种阵元距离约束满足切比雪夫距离的矩形边界稀布平面阵列综合方法;文献[2]中提出了对半径间隔半波长的均匀同心圆环平面阵稀布综合的方法。上述方法均有效降低了稀布面阵优化问题的复杂程度，同时保证了非常良好的阵列性能。然而，在目前已有的有关稀布面阵综合设计的文献中，尚未有将平面阵列稀布综合设计问题转化为稀布线性阵列的优化问题来处理的文献。本文提出一种阵元距离，阵列孔径以及阵元数目约束下的沿阿基米德螺线轨迹的平面阵列布阵方式，通过合理设置螺线参数，将平面阵列的稀布问题转化成稀布线性阵列优化问题，大大降低了稀布面阵综合问题的复杂程度，在得到良好的旁瓣性能的同时，提高了程序的运行速度，是一种高效、稳定的稀布面阵综合方法。

由于遗传算法适用于解决非线性问题，近年来已经有很多文献将遗传算法应用于稀布阵列综合设计中，并且取得很好的效果，本文将继续拓展遗传算法在稀布阵列综合中的应用。

2 遗传算法用于阿基米德螺线阵列优化

2.1 阿基米德螺线阵列优化模型

阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”，它的极坐标表达式为:其中，a为螺线参数，θ为螺线相对原点的方位角偏移量。这种螺线的每条臂的距离为2πa。

根据弧长公式，可以得到阿基米德螺线的弧长表达式:

图1 阿基米德螺线阵列示意图

图1中，r表示阿基米德螺线阵列的阵列孔径，最外面的圆环为阵列的孔径圆。对于任意阵列，考虑阵元为全向阵元，阵列的电场分布:

N=阵元数;k=2π/λ;λ为入射信号的波长;In为阵元激励的幅值;ψn为阵元激励的初始相位;rn=阵元与原点位置阵元的距离;φn=沿螺线从原点位置阵元到达该阵元时转过的角度;u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，0 ＜ θ＜ 2π，0 ＜ φ ＜ 2π。

为了描述问题的方便，我们设In=1;ψn=0。所以，阿基米德螺线阵列的电场分布可以写为:

定义适应度函数为整个φ平面的旁瓣电平的最大值，则:

FFmax是主瓣的峰值，φ、θ对应的范围为除主瓣外的所有旁瓣区域。

目标函数定义为:

d1，d2，…，dN表示阵元的位置。

为了描述应用遗传算法对阿基米德螺线阵列优化布阵的问题，我们做以下定义:

r:阿基米德螺线阵列的孔径;

L:将阿基米德螺线展开为直线后的阵列孔径;

R=aθ:阿基米德螺线方程，其中a为大于0的任意常数，θ表示从螺线原点转到与原点的径向距离为R的点时，螺线转过的角度。

此时，阿基米德螺线阵列的优化模型转化为一个线性阵列的优化模型:

上式中的d1，d2…dN表示阵元在展开后的阿基米德螺线上的位置。

2.2 创建初始种群

上面，我们通过合理设置阿基米德螺线的参数，将以阿基米德螺线为轨迹进行平面布阵的问题转化为一个非对称线性阵列的稀布问题，这就大大简化布阵的难度。

建立初始种群:设阵元数目为N，阿基米德螺线阵列的孔径为r，则:

阵元的距离约束不变。这样，在以最小阵元间距布阵时，孔径上剩余的区间为:

运用随机数生成器在[0，sp]上生成N－2个随机数并按从小到大排列，得到:X= [x2，x3，…，xN－1]T，则在孔径内N－2个位置上的阵元位置矢量为:

经转换后，得到整个个体的位置矢量:S=[0，d2，…，dN－1，L]。

不难证明上述方法生成的个体满足了阵元个数N，孔径r和阵元最小距离约束dc。要生成种群数为M的初始群体，只需用随机数生成器独立地生成M个向量X，然后经变换得到形如S的个体。

2.3 阵元位置转换

每得到一代群体之后，需要根据阵元位置矢量求解每个个体的适应度。但是，前面对阵元位置矢量的一系列操作是在直线阵列中进行的，若求解阿基米德螺线平面阵列的方向图，需要找到直线上的阵元在阿基米德螺线上对应的位置。为了能够快速的完成阵元位置的转换，本文采用了查表法，创建查找表的步骤如下:

a.对展开后的阿基米德螺线进行等间隔采样，采样精度为 0.02dc，采样范围为[0，400dc]，得到直线上的阵元位置表L1;

b.根据公式(2)求解表L1中的每一个采样值对应的阿基米德螺线上的位置，得到螺线上的阵元位置表L2，表L1和表L2为一一对应的映射关系。

经遗传操作得到种群中个体以后，需要对个体中每个元素值以0.02dc的精度近似，然后将近似后的值映射到表L2中，完成阵元位置的转换。这种方法可以提高阵元位置转换的速度，从而更加迅速的得到个体的适应度，缩短了阵列优化的时间。

2.4 遗传操作预处理和后处理

在得到个体的适应度之后，首先判断该个体的适应度是否满足优化准则，若未满足，则需要将优势个体保留到下一代种群之中。下一代种群是通过交叉变异产生的。然而，由于稀布阵列的阵元间距约束，通过通用的遗传算法交叉变异得到子代群体很有可能不再满足阵元间的距离约束。为了避免该问题的出现，需要对父代群体进行遗传操作预处理提取基因信息，然后对基因信息进行广义交叉和广义变异两种遗传操作，最后对新的基因信息矩阵进行遗传操作后处理，得到子代群体。由于文献[3]已经对上述操作的具体步骤进行了详细的描述，本文在此就不再赘述。

3 算法流程

在本文中应用的遗传算法在传统的遗传算法的基础上进行了一些改进，具体步骤如下:

a.创建查找表;

b.初始群体建立;

c.阵元位置转换;

d.计算群体中个体的适应度;

e.判断优化准则是否满足，若已满足则转(j)，否则继续;

f.选择优势个体;

g.遗传操作预处理;

h.广义交叉操作;

i.广义变异操作;

j.遗传操作后处理，转(b);

k.输出最佳个体，结束。

4 仿真结果

设阵元数为167，阵列孔径为4.5λ，最小阵元间距约束dc为0.5λ。优化目标为阵列方向图的PSLL尽量低。GA的基本参数为:种群数为100，交叉率为0.5，变异率为0.01，终止代数为200，初始群体生成和种群变异时采用均匀分布随机数生成器，采用了最佳保留机制来保证算法的收敛。共进行了十次独立的仿真实验，每次独立实验耗时大约6.5h.十次实验中最优PSLL为－20.4113dB，最差PSLL为－19.9455dB.上述仿真得到的PSLL在一个很小的范围内变动，证明了该方法的稳定性。利用最优结果的数据作图，可以得到优化后的螺线阵列阵元位置图，三维方向图和切面方向图。

图5 优化后的阵列u轴切面方向图

5 结语

文中提出了一种综合阵元数、孔径和最小阵元间距约束的稀布面阵的新方法，阵元沿阿基米德螺线的轨迹放置，通过合理设置螺线参数，将一个面阵的稀布问题转化为稀布线阵的综合问题。这种方法降低了面阵稀布问题的复杂度，得到了良好的旁瓣性能，降低了阵列的成本。同时，该方法可以根据实际需要调整阵元的最小距离约束，以降低阵元间的互藕现象，因此更符合实际工程的需要。

[1]陈客松，何子述.平面稀布天线阵列的优化算法[J].电波科学学报，2009，24(2):193 －198.

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[3]Kesong Chen，Zishu He，and Chunlin Han.A Modified Real GA for the Sparse Linear Array Synthesis with Multiple Constraints[J].IEEE Transactionson Antennasand Propagation，2006，54(7).

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