多值非扩张非自映射的强收敛定理

董巧丽，邓斌超

（中国民航大学理学院，天津 300300）

多值非扩张非自映射的强收敛定理

董巧丽，邓斌超

（中国民航大学理学院，天津 300300）

对多值非扩张映射构造了两个迭代算法，在自反且严格凸Banach空间中证明了强收敛定理。研究结果推广了Matsushita-Takahashi的结果。

多值非扩张非自映射；自反且严格凸Banach空间；弱序列连续的对偶映射

设E为Banach空间，C是E中的非空子集。令2E为Banach空间E中的所有子集族，CB（E）为E中非空有界闭子集族，K（E）为E中非空紧子集族。设H是CB（E）上的 Hausdorff度量，即

其中：d（x，B）=inf{‖x-y‖；y∈B}。T ∶C→2E称为多值非扩张映射，如果对∀x，y∈C，满足 H（Tx，Ty）≤‖x-y‖。设 F（T）={x∈D（T）∶x∈Tx}是映射 T 的不动点集，其中D（T）是映射T的定义域。

最近Matsushita-Takahashi[1]研究了如下的迭代格式

其中：Q∶E→C是太阳非扩张收缩映射。在本文中把Matsushita-Takahashi的迭代格式（1）、（2）推广到适用于多值映射的算法。设C是Banach空间E的非空闭凸子集，Q∶E→C是太阳非扩张收缩，根据下节引理1，选择适当的 u，x1∈C

其中 yn∈Txn，使得‖yn+1-yn‖≤H（Txn+1，Txn）。假设序列 αn⊂[0，1]满足条件

1 预备知识

设E为实Banach空间，J∶E→2E*为对偶映射，即

其中E*是E的对偶空间并且＜·，·＞是对偶内积。设C是E中的非空子集，D⊂C，则Q∶C→D称为太阳映射，如果Q（Qx+t（x-Qx））=Qx，其中对∀x∈C和t≥0，有Qx+t（x-Qx）∈C。Q∶C→C称为收缩映射，如果Q2=Q。集合D称为集合C上的太阳非扩张收缩，如果存在一个从集合C到集合D上的太阳非扩张收缩映射。

设C是光滑Banach空间中的非空闭凸子集，Q是E到C上的太阳非扩张收缩，则Q唯一。由于∀y∈C，对于映射T∶C→E，引入条件

其中：Sx={y∈K（E）∶y≠x，Qy=x}；是 Sx的补集；Q是E到C上的太阳非扩张收缩。

引理1 设X是完备度量空间，且A，B∈K（X）。则∀a∈A，存在 b∈B，满足[2]

引理2 设an是非负实序列且满足

其中序列{γn}⊂（0，1）和序列{βn}⊂R，满足

引理3 设C是光滑Banach空间E中的闭凸子集，设T∶C→E是非扩张映射。假设C是E上的太阳非扩张收缩，且满足式（5），则 F（T）=F（QT）[1]。

引理4 设C是严格凸Banach空间E中的闭凸子集，设T∶C→E是非扩张映射。假设C是E上的太阳非扩张收缩。如果 F（T）≠Ø，则映射 T满足式（5）[1]。

引理5 设C是光滑Banach空间E中的非空闭凸子集，D⊂C，J∶E→E*是 E 上的对偶映射，P∶C→D是一个收缩。成立如下等价条件：

2）P既是太阳映射也是非扩张映射。

定义如下隐格式

其中 yt∈Txt。

2 主要结论

定理2 设E是自反的严格凸Banach空间且E有弱序列连续的对偶映射。C是E中的非空闭凸子集，T∶C→K（E）是非扩张映射。设C在E上太阳非扩张收缩。假设 F（T）≠Ø 满足 T（y）=y，∀y∈F（T），序列 αn满足条件 H1）～H3），则由式（3）定义的序列 xn→Pu，n→∞，其中 P ∶C→F（T）=F（QT）是唯一的太阳非扩张收缩映射。

证明 第一步证明：QT是非扩张多值映射，即

因为Q和T是非扩张映射，可得

根据引理 3，可取 z∈F（T）=F（QT），根据定理条件有z=Tz。由 yn∈Txn，可得

其中 M=max{‖u-z‖，‖x0-z‖}，因此序列 xn，yn和Qyn有界。则可得

第二步证明

由 yn∈Txn，可得 Qyn∈QTxn，因此有

联立式（8）、式（9）和上式，得

据定理1，可知F（T）是K上的太阳收缩且P∶K（E）→F（T）是唯一的太阳非扩张收缩映射。

第三步证明

取序列xn+1中的子列xnk+1，满足

根据Banach空间E的自反性和序列xn的有界性，假设序列xnk⇀x*。由QTx*的紧性可推出存在一个序列zn∈QTx*满足

设z≠x*。由具有弱序列连续对偶映射的Banach空间满足 Opoal条件，及式（7）和式（10）可得

这是矛盾的。所以

因为对偶映射J∶E→E*是弱序列连续的对偶映射，根据式（12）、式（13）和引理 5，可得

第四步证明

定理3 设E是自反的严格凸Banach空间且E有弱序列连续的对偶映射。C是E中的非空闭凸子集，T∶C→K（E）是非扩张映射。设C是E上太阳非扩张收缩。假设 F（T）≠Ø 满足 T（y）=y，∀y∈F（T），序列 αn满足条件 H1）～H3），则由式（4）定义的序列 xn→Pu，n→∞，其中 P ∶C→F（T）=F（QT）是唯一的太阳非扩张收缩映射。

证明 根据定理2中式（11）中类似的证明，可得

[1]MATSUSHITA S，TAKAHASHI W.Strong convergence theorems for nonexpansive nonself－mappings without boundary conditions[J].Nonlinear Anal，2008，68：412－419.

[2] NADLER S B，JR.Multi－valued contraction mappings[J].Pacific J Math，1969，30：475－487.

[3] SONG Y，CHO Y J.Iterative approximations for multivalued nonexpansive mappings reflexive Banach spaces[J].Math Inequal Appl，2009，12：611－624.

Convergence Theorems for Multivalued Nonexpansive Nonself Mappings

DONG Qiao-li，DENG Bin-chao
（Civil Aviation University of China College of Sciences Tianjin 300300）

Constructing two iterative schemes for mutivalued nonexpansive nonself-mappings and prove strong convergence theorems in a reflexive and strictly convex Banach space.The results generalize and extend the results of Matsushita-Takahashi.

multivalued nonexpansive nonself mapping；reflexive and strictly convex Banach space；weakly sequentially continuous duality mapping

O177.91

A

1674－5590（2010）02－0062－03

2010-05-12；

2010-08-31

中国民航大学科研启动基金项目（08QD10X）；中央高校基本科研业务费（ZXH2009D021）

董巧丽（1979—），女，河南濮阳人，讲师，博士，研究方向为偏微分方程数值解.

（责任编辑：杨媛媛）