输入与输出的中心资源分配DEA模型*

王美强

（贵州大学 管理学院，贵阳 550025）

数据包络分析（data envelopment analysis，DEA）方法与其他评价方法相比，其特点是在客观、确切地评价各决策单元（decision making unit，DMU）的相对效率时给出了各DMU从非DEA有效到DEA有效的改进方案——对输入与输出进行了目标设置，然而，这样的目标设置是分别进行的，只是反映了DMU作为个体使自身成为有效的诉求;现假设考察的DMUs均同属于一个组织，如高校的各个系、某家银行的各个营业点，组织的管理者考虑在对各DMUs进行目标设置——从经济学的角度即为资源分配时，更为合理的、现实的分配应是在考虑个体需求的基础上，由决策者从组织的角度及系统的高度上进行;基于此，文献［1］利用DEA建立了中心资源分配模型，该模型在保证系统每种输出不降、同时将每个DMU投影到效率前沿面上的前提下，最小化系统的每种输入量，运算结束后完成了资源分配。但它没能证明比分别投影时各DMU耗费资源之和小（然而这是合乎情理的，没有理论证明以组织形式运作就比各自为政时节约资源）。

上述资源分配模型与以前的用于资源分配DEA模型相比（如Golany（1995）、Athanassopoulos（1995、1998）、Beasley（2003））至少有3方面的进步:模型是一个一般的模型而不是只针对某个具体的案例;模型保证了将所有DMUs投影到了效率前沿面上;模型很简洁。然而，模型仍然是沿着传统DEA模型的思想，要么输入导向要么输出导向;以输入导向为例，保持总的产出不变（与传统的DEA模型不同的是，它仅要求所有DMUs的产出之和不变，而不是每个DMU的产出都不能变），仅最小化投入之和，有时确实可以这样做，而且在算法上很简便，是单目标规划，但更多时侯投入与产出是同时调整的;此时该模型就无能为力了。

建立同时考虑输入与输出的中心资源分配DEA模型［1］。当然，算法上要复杂些，是分式规划，但经过变换可化为普通的线性规划求解。方法更加贴近生产现实。需要再次强调的是:所谓的中心资源分配即是在模型中以系统的角度完成了各个DMU的每种输入与输出的目标设置——投影。

1 输入导向资源分配模型

模型分为两阶段，第一阶段寻求各种输入以相同比例减小，然后第二阶段寻求任何输入的额外减小或任何输出的额外增大，他与传统DEA模型最基本的差别在于:（1）不是解独立的线性规划模型从而依次投影各DMU，而是同时投影各DMU;（2）不是单个地减少任何一个DMU的输入，而是减少所有DMUS的输入总和。

其模型如下，符号意义同传统DEA模型，第一阶段

设θ*为第一阶段的最优解，则模型的第二阶段为:

如此便完成了一次资源的分配。

2 同时考虑输入与输出的中心资源分配DEA模型及其求解

设θ*，δ*为第一阶段的最优解，则模型的第二阶段为:

模型被应用在大学向各系分配资源中，结果验证了所建立模型的正确性（为节省篇幅，省略）。

3 结束语

在此提出的这两个DEA模型与文献［1］的两个模型具有共同的特点:（1）不是解独立的线性规划模型从而依次投影各DMU，而是同时投影各DMU;（2）不是单个地减少任何一个DMU的输入，而是减少所有DMUS的输入总和。但是，模型可能更符合生产实际，因为优化生产时，往往同时调整投入与产出，而如果只能调整投入（输入导向型）或只能调整产出（输出导向型）则比较难以运作。

最后要说明两点:第一，不管是文献［1］还是现模型，都不能证明所有DMU耗费的每种资源之和一定比个别投影时（如BCC、CCR模型）各DMU耗费的每种资源之和要小;第二，不能证明模型计算出的投入之和或产出之和与［1］的模型之间有大小关系，两者是独立的，是在的两类情形下的优化问题。

［1］SEBASTIAN L，GABRIER V.Centralized Resource Allocation Using data envelopment analysis［J］.Journal of Productivity analysis，2004，22:143－161

［2］PASTOR J T，RUIZ T L.An enhanced DEA Russell graph efficiency measure［J］.European Journal of Operation Research［J］.1999，115:596－607

［3］CHARNES A，COOPER W W.Programming with linear fractional functionals［J］.Naval Research Logistics Quarterly，1962，15:333－334

［4］COOPER W W，HUANG Z M.Efficiency aggregation with Russell measures in data envelopment analysis［J］.Socio－Economics planning sciences，2006（1）:21－28

［5］李光金，阎洪.测算投入—产出型技术效率的DEA方法［J］.系统工程理论与实践，2002（1）:72－75

［6］李光金，刘永清.基于多目标规划的DEA［J］.系统工程理论与实践，1997（3）:16－22

［7］吴育华，范贻昌，宋继旺.DEA模型的一般投影研究［J］.系统工程学报，1996（1）:45－52