点球应该射哪边

陆晶靖

高明的射手和经济学家有一个共同点：他们都知道如何罚进更多的点球。

2008年，莫斯科的欧冠决赛之夜进入到点球大战，切尔西的阿内尔卡站在了曼联门将范德萨的面前，准备罚点球。荷兰人完全进入了状态，他大吼一声，狠狠击掌，然后伸展双臂，对着阿内尔卡指了指自己的左边，好像在说：“你不就是要踢这边吗？来呀！”

阿内尔卡开始犯难。此前，切尔西的6粒点球全部射向门将的左边，范德萨没有一次扑对方向。实际上，这是个博弈论的经典困境：阿内尔卡知道范德萨爱扑右边，而范德萨知道阿内尔卡知道他爱扑右边，可阿内尔卡知道范德萨此时已经知道他知道范德萨爱扑右边，怎么办？

球门宽7.32米，高2.44米，点球点距离门线约11米。在世界顶尖球员脚下，球只需0.2秒就能从罚球点到达门线。球罚出后，守门员是不可能有时间反应并做出有效扑救动作的。守门员必须事先决定向哪边倾斜重心，而球员也必须在看见守门员向哪边倾斜之前决定把球射向哪个方向。由于不像下棋那样有考虑的时间，双方都会尽力向对方掩饰自己的选择，这种博弈叫“同时行动博弈”，很考验事先的功课。我们都还记得2006年世界杯1/4决赛中德国和阿根廷的点球决战，德国队事先聘请专家分析了13000个点球的录像，对于阿根廷7个最优秀的点球射手的习惯了如指掌，莱曼只需要根据小纸条上的指令扑救就行，而阿根廷人对此一无所知，输在了起跑线上。

球员在射点球的时候，一般都会用脚的内侧触球，所以右脚球员偏爱的射门方向多为守门员的右侧，左脚将则是门将左侧，这个方向我们姑且称为“自然边”，门将一般会根据这个规律扑自然边。西班牙人帕兰乔斯·韦尔塔统计了1995年至2000年之间西甲、意甲和英超的所有点球数据，球的方向和扑救方向相反的，按照自然边和非自然边，得分率分别为93%和95%；而射手和门将同时选择非自然边，得分率约为58%；同时选择自然边，得分率为70%。

这是一个宏观数据，在实战中，如果一个球员总是选择一个方向，那么守门员只要留点心眼儿，就能判断出他下一个点球的方向，所以，一个好的点球射手必须时不时选择自然边以外的方向。假设选择左右的概率各为50%，按照帕兰乔斯的数据，如果守门员选择左边，那么射手的成功率为50%×（58%＋93%）＝75.5%；选择右边，成功率为50%×（70%＋95%）＝82.5%。也就是说，如果按照随机策略1：1地选择左右方向，射手的最低成功率也能达到75.5%。

美国经济学家迪克西特和奈尔伯夫在这个统计基础上算出了最优方案：踢球者应该在61.7%的时间里选择自然边，38.3%的时间里选择非自然边，这样，无论守门员选择左还是右，进球率都稳定在79.6%。不是巧合，61.7%，也就是0.617，离黄金分割点0.618只差0.001。

让我们回到阿内尔卡的位置：范德萨在尝试扰乱他的心神，挑衅他射非自然边；而按照习惯，阿内尔卡想选择自然边。

阿内尔卡最终把球踢向了自然边。荷兰人扑住了这个球，曼联捧走了冠军杯。如果这位法国人懂点博弈，他也许会明白，多选择非自然边是非常必要的，队友的成功已经证明了这一点。而美国布朗大学在赛前给切尔西的报告里，也是这么建议的，作者正是经济学家帕兰乔斯·韦尔塔。

（张游宇摘自《体育画报》2010年第23期）