数学教育的误区与盲点

这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念——尽管其基本含义没有什么错，但由于人们在接受这些理念时往往没有经过认真思考，接受以后又很少会对自己是否真正领会了精神实质，包括对其局限性做出深入反思，因此就很容易出现理解上的片面性与做法上的简单化；所谓“盲点”，则是指人们实践中不仅没能事先有所警惕与预防，在出现以后也往往视而不见、听之任之的问题。以下就针对数学教育的现实情况谈谈这个领域的误区和盲点。

一、聚焦“过程的教育”。

1.由“动态数学观”到数学学习的“活动化”。

20世纪90年代起在世界范围内先后开展的新一轮数学课程改革运动的一个共同理念，就是突出强调了由“静态数学观”向“动态数学观”的转变及其对于数学教育的重要含义。这就正如美国著名数学教育家伦伯格所指出的：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其它知识一样都是人类创造性的产物……这种动态的数学观具有重要的教育涵义。”

数学教育界普遍认为，“动态数学观”最为直接的教育含义就在于：数学教育不应唯一集中于作为数学活动最终产物的知识性成分，而且也应高度关注相应的数学活动。这显然就是“结果与过程”这一对范畴近年来何以在数学教育(乃至一般教育)领域内获得普遍重视的主要原因，特别是，对于“过程”的突出强调更可看成世界范围内新一轮数学课程改革的又一重要特征。

从这一角度去分析，我们也可更好地理解我国2001年颁布的义务教育《数学课程标准(实验稿)》(以下简称“《标准》”)何以在传统的“知识技能目标”之外，又专门引入所谓的“过程性目标”：“《标准》中不仅使用了‘了解(认识)、理解、掌握、灵活运用等刻画知识技能的目标动词，而且使用了‘经历(感受)、体验(体会)、探索等刻画数学活动水平的过程目标动词”；进而，突出强调“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。

但是，究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵?这是否可等同于动手实践与自主探究?什么又是“动态数学观”的主要教育含义，特别是，这是否就意味着我们应由所谓的“结果的教育”转向“过程的教育”?这一做法在实践中是否会造成一定的问题或消极后果?我们应如何去避免或纠正?笔者以为，如果对这些问题我们始终未能作出深入的思考，而只是停留于对“动态数学观”或“过程的教育”的突出强调，或是满足于对学生动手实践与主动探究的特别推崇，就很容易在这方面陷入认识的误区。

应当强调的是，国际上的相关实践已在这一方面为我们提供了直接启示。如“探究学习”在20世纪60年代的美国就曾得到积极提倡，但最终是一次失败的努力。尽管存在多种“外部”的原因，但最为重要的一个原因，是认为学生无需通过系统学习，也即对于已有文化的认真继承就可相对独立地做出各项重要的科学发现，包括建立起相应的系统理论。另外，国际数学教育界通过对20世纪80年代以“问题解决”为主要口号的数学教育改革运动进行总结与反思，得出的一个主要结论是：与对于过程的片面强调相对立，数学教学应当“过程与结果并重”。

当然，上述共识的形成在一定意义上也可看成课程改革逐步深入的一个具体标志，但我们显然又不应以此去取代对于“数学活动”各个问题的深入分析。作为“四基”之一，“基本活动经验”已被正式纳入到了修改后的《数学课程标准》之中。这一事实更加凸显了认真做好这方面工作的重要性和紧迫性。

2.“数学活动”的具体内涵。

究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵?读者特别是一线教师或许可以首先尝试着对这一问题作出自己的解答。

相信很多数学教师都会给出一种解答：观察、实验、总结、归纳、证明。但是，我们又只需与著名数学家的相关论述作一对照就可立即看出这种解答是过于狭窄了，特别是未能很好地体现“数学活动”相对于一般“科学活动”的特殊性。以下就是人们经常提到的一些论述：“模式的建构与研究”(L.Steen)，“数学化、公理化与形式化”(弗赖登塔尔)，“问题解决”(波利亚)，“抽象、证明与应用”(亚历山大洛夫)，等等。这些论述从总体上说清楚地表明了数学活动的复杂性和多元性，由此可以得出的一个直接结论就是：将“数学活动”简单等同于某种具体的数学活动，无论这是指外部的操作性活动，也即所谓的“动手实践”，或是指归纳与演绎这样的逻辑思维活动，乃至别的什么活动，都是不够恰当的。

当然，相对于抽象的论述而言，更为重要的又在于我们如何能够通过实际参与数学活动获得这方面的直接体验。

由台湾学者黄敏晃教授提供的以下实例(《“从‘鸽笼原理谈起”》)可以看成这方面的一个积极努力：在小学数学教师的一个进修班上，学员被要求通过小组合作求解如下问题：如何利用“鸽笼原理”证明：“从1，2，3，…2n这些自然数中，任取n＋1个数，其中必有两个数互质”。以下就是这些学员在当时所从事的一些具体活动：

(1)特殊化。如令n＝3，并就这一实例对结论进行验证。(2)猜想与证明。正是通过实例的具体考察，他们发现了“两数互质”的一些具体类型，如“两个连续的自然数互质”，并且他们对结论的正确性进行了证明。(3)分析、聚焦、解决问题。通过分析，他们又认识到了，为了解决原来的问题，还需要证明所有的取法都可以归结为上述类型，包括如何能够利用“鸽笼原理”去进行证明。(4)反思与推广。即作出如下的推广：“从任意一个自然数a开始，连续罗列2n个数：a，a＋1，a＋2，a＋3，…a＋2n－1。在这些自然数中任取n＋1个数，其中必有两个数互质。”

由此可见，只有通过亲身实践我们才能获得对“数学活动”更为深刻的理解，如究竟什么是数学中的“尝试”及其与“特殊化”的重要联系；什么是数学中发现规律的主要途径；什么又应被看成证明的本质：是逻辑思维，还是获得更为深刻的理解；“问题解决”与“继续前进”又存在怎样的关系，等等。

另外，也只有以实例为背景去思考，我们才能更好地理解关于“数学活动”的各种专门理论。例如，与各种过于笼统的提法(除去“学生主动探究”以外，还有20世纪80年代国际上十分流行的一个提法：“学数学，做数学”)相比较，所谓的“数学活动论”可以看成从一个侧面更为清楚地揭示了“动态数学观”的具体内涵及其教育含义，从而我们就应予以特别的重视。

具体地说，按照“数学活动论”，数学不应被等同于各个具体结论的简单汇集，而应理解成由“问题”、“语言”、“方法”、“命题”等多种成分所组成的一个复合体，这就是从动态角度考察数学得到的一个直接结论。这一结论具有重要的教育含义：

第一，由于“问题”可以看成数学活动的直接出发点，因此，在数学教学中我们就不仅应当十分重视提高学生解决问题的能力，也应高度重视学生提出问题能力的培养，即帮助学生树立良好的“问题意识”。第二，从这一角度我们也可更为深入地理解帮助学生学会“数学地谈论”与“数学地写作”的重要性，也就是说，数学学习事实上也可看成一种语言学习。第三，由于每个数学分支不仅具有自己的基本问题，往往也具有自己的特殊方法，某些新的数学分支的创立更依赖于新的研究方法的创建，因此，在数学教学中，我们也应对方法予以足够的重视。

3.“学生学习活动”与“真正的数学活动”的必要区别。

从教育的角度去分析，我们又应特别重视在“学生的学习活动”与“真正的数学活动”之间存在的重要区别。

具体地说，就如“真实数学”(authentic mathe-maties)与“学校数学”(school mathematics)的区分，我们在此显然也应看到学生的“数学活动”与真正的“数学活动”之间所存在的重要区别，特别是，学生的“数学活动”主要是一种“再创造”，并且是在教师的直接指导下完成的，也即主要是一种文化继承的行为。

由此可见，当前的一个紧迫任务，就是对“学生的数学活动”作出更为清楚的界定，并依据学生的认知发展水平对此在教学中作出合理定位。

日本的相关实践为我们提供了直接的范例。日本同行通过对这些年的课改实践进行总结和反思获得一项进展：在文部省2008年颁发的新修订的中小学《学习指导纲要》中，不仅“数学活动”被列为与“数与计算”、“量与测量”、“图形”与“代数”等相提并论的又一新的学习领域，而且也较为详细地列出了各个年级在这一方面的具体要求。例如，他们为三年级规定了这样一些数学活动：第一，用实物、语言、数、式子、图等思考并说明整数、小数、分数计算意义和方法的活动；第二，用实物、图、数轴表示及比较小数和分数大小的活动；第三，研究长度、体积、重量等单位的关系的活动；第四，用尺子和圆规画等腰三角形和等边三角形的活动；第五，从时间和地点等角度对资料进行分析整理、列表表示的活动。

当然，从教学的角度去分析，我们还应更为深入地去研究，在学生积极从事上述“数学活动”的同时，教师又应如何去发挥应有的指导作用?

例如，施银燕老师的《“鸡兔同笼”问题的另类教学》(详见《人民教育》2009年第7期)就是这方面的一个很好实例。由这一例子可以看出：即使就“尝试”这样一种“最原始的”探究活动而言，也具有十分丰富的思维内涵，从而就必然地有一个后天的学习过程，教师更应在这一过程中发挥十分重要的作用。这就正如任课教师所指出的：“我们要做的是有计划、有顺序的尝试，需要理性地分析和调整，如何基于数学思想进行分析调整是这节课所要解决的问题；尝试过程中伴随着不断的猜测，等猜测变成确定的规律之后，就达到了尝试的最高境界——不试。”

在此我们可联系“数学活动”的科学性去进行分析。例如，从“穷举”的角度看，尝试应当注意避免遗漏；从方法论的角度看，尝试又应力求“高效”——王尚志教授在相关评论中指出，后者可看成数学中“逐步逼近法”的本质所在。更为一般地说，这也就如同波利亚所指出的：“在解题的每一阶段……我们都要用已经得到的知识去得出更多知识。我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国。在每个阶段，我们利用已被征服的省份作为行动基地去征服下一个省份。”

王尚志教授还提到：“现在老师们中间有一个认识值得讨论：教最巧的方法是最好的，认为巧是聪明的标志。我建议对好方法作重新思考：对学生而言哪个更自然，可能更为重要……越是自然的，也越有潜能。”

从这一角度去分析，我们也可更好理解“尝试”这一方法何以会引起不少著名科学哲学家与数学哲学家的特别重视。对此可见波普尔的《猜想与反驳》与拉卡托斯的《证明与反驳》。当然，通过阅读这些著作我们也可获得关于“数学活动”更为深入的认识。另外，还应提及的是，有不少数学教育家也曾对此作过专门研究。如英国学者梅森与美国学者舍费尔德就都曾经对数学中的特殊化方法进行过专门分析。(详见郑毓信的《数学方法论》)

二、两极分化与“精英教育”。

学生“两极分化”的加剧以及“精英教育”的缺失，是当前数学教育一个严峻的现实。

但是，这一提法本身不已包含了一定的内在矛盾吗?因为，所谓的“两极分化”就是指一部分学生学得越来越好，我们又如何能够同时去断言“精英教育的缺失”?!笔者以为，这一疑问的存在恰恰清楚地表明了对于相关现象作出深入分析研究的必要性。

1.学生两极分化的加剧。

这是笔者在2005年就已提到的一个看法：“以下的现象应当引起我们的高度重视：在先前主要是在小学三年级才开始出现的‘学生两极分化的现象，现今在小学一年级就已开始凸现出来。”

“当然，我们在此不应‘谈虎色变，毋宁说，这即是十分清楚地表明了深入开展相关研究的重要性和紧迫性，特别是，所说的‘新的两极分化是否真的存在?或者说，我们究竟可以在多大的范围与程度上谈及‘新的两极分化?进而，所说的‘新的两极分化与‘先前的两极分化是否具有相同的性质，还是有着不同的内涵或表现形式?什么又是造成所说的‘新的两极分化的主要原因?……我们并应如何去解决所说的‘新的两极分化?”

由以下的教学实例我们就可具体了解现今在数学教育领域中出现的究竟是怎样的“两极分化”，什么又是造成这一现象的主要原因。

情境A：教师在班上给出了这样一个问题：“在纸上任意点上7个点，并将它们每两点连成一条线。再数一数，看看连成了多少线段?”

教学现实：59人的一个班级，有25位同学已经能够列出“6＋5＋4＋3＋2＋1”，有7位同学列出“6×7＝42，42＋2＝21”。但有15位同学几乎无从下手，思路完全不对。

情境B：“鸡兔同笼”问题的教学。

教学现实：调查表明，在班上44个学生中，除14人不会解答外，其他人都给出了正确解答，其中更有9人采用列方程的方法并获得了正确答案。

情境C：“植树问题”的教学

教学现实：“‘植树问题现已成为了一个跨越5个年级(二年级～六年级)的题目。”作者进一步指出：“在一个到处讲究‘速成的时代，什么样的难题都有机会提前出现。”特别是，如果这些题目打着“生活中的数学问题”这样一个旗号的话。

面对学生间存在的如此大的差异，一线教师的处境显然不轻松!另外，上面的实例也已表明，由于所谓的“超前教育”正是造成现今“两极分化”的一个重要原因，从而后者确已在很大程度上不同于传统意义上的“两极分化”，也就是说，我们现今所看到的已并非真正的“优秀学生”与“差生”之

间的差距，而是由各种原因造成的“提前起跑者”与“正常起跑者”之间的差距。

上述现象的出现并非偶然，因为，当今的信息时代，人们可以通过各种渠道获得所需要的信息与知识。从而，在实际进行相关内容的教学前，就有很多学生已经知道了如何去计算平行四边形的面积，也已较好地掌握了分数的除法……当然，在此我们也可看到一些“人为的干扰”，特别是由于“奥数”的盛行而造成的消极影响。

除了从教学的角度进行分析以外，我们又应十分重视所说的“两极分化”对于学生未来的数学学习(乃至整体发展)所可能造成的负面影响，因为，这里所说的“先进生”有很多不仅不能被看成真正的优秀学生，更可能是一个“越做越恨”、“越学失败感越强”，甚至灵魂也因此受到一定扭曲的“偷跑者”。

2.“精英教育”的缺失。

“精英教育”这一术语的使用无疑会引起不少读者的疑惑甚至是反感，因为，按照一般的理解，“精英教育”是与“大众数学”直接相对立的，后者又正是20世纪90年代起在世界范围内先后开展的新一轮数学课程改革的一个基本立场，这就是指，数学教育应从原先的“双重目标”——对大多数学生的低标准与少数学生的高标准——转变到真正面向全体学生。后者也是我国义务教育《数学课程标准(实验稿)》何以特别强调义务教育的基础性、普及性和发展性的主要原因，特别是，数学教育应当实现“人人学有价值的数学”，“人人都能获得必需的数学”、“不同的人在数学上得到不同的发展”。

当然，在此我们又应特别提及以下的一些论述：“《标准》只是每个学生都应达到的最基本的要求，它并不排除学有余力的学生达到比《标准》更高的要求。”但笔者在此所要提出的却是：除了一线教师，在现实中我们又应指望谁来关注“学有余力的学生”的发展?谁又应当对这方面工作的滞后甚至是缺失承担责任?

日本著名数学教育家藤田宏教授曾这样直接评论日本数学教育的现实：“日本需要真正的精英教育……提倡大众教育的前提下，进行精英教育……精英教育应该从文化教育直至研究生院教育；数学教师必须接受精英教育，具备精英教育意识。”

以下是藤田宏教授的一些具体论点：

“日本需要真正的精英教育。在不久的将来，我们的社会需要真正的具有高专业能力和道德观念的精英人才”，在将来的社会生活中他们能够努力领导或处理各种状态下所面临的问题。

“精英教育的原则和策略：提倡大众教育的前提下，进行精英教育。我们的目的应是将学生个性建立在人道主义基础上，我们的重点应放在培养聪明智慧、善待社会及人类的精英。

“(数学教育中的)精英教育就是培养在数学上学力突出的，将来在某一方面具有杰出的研究能力的学者的教育。数学教育中的精英教育是通过问题解决教学实现的。老师给学生具有一定难度和挑战性的有深度的数学问题。”

“一般说来，社会精英都有与众不同的精神气质，所以在教学中树立学生的挑战精神和远大理想、志气也是最根本的。通过日常教育和数学问题解决培养学生的创新意识和创新能力是非常必要的。”

尽管藤田宏教授的这些论述以日本的数学教育作为直接对象，但他所提出的主要结论显然也适用于中国。这就是指，如何同时做好“大众数学”与“精英教育”(更为准确地说，是“20％最好的学生在数学上的更好发展”)，是我们当前应当高度重视的一个问题。这也就如藤田宏教授所指出的：“现在是进行义务教育，因此，学习内容简单，这样一来，学习水平显然降低了……在义务教育中，大家都在议论、强调民主和教育公平，但过分强调民主平等对精英教育是不利的”；“日本……对于聪明的学生缺乏应有的精英教育”。

如众所知，对于存在问题的清醒认识，包括明确表述与深入思考，正是最终解决问题并取得新的进步的良好开端。在这样的意义上，日本同行可以说在这一方面已经走在了我们前面；而强烈的国际竞争意识事实上也是我们在当前所应特别强调的：“为了国际竞争的胜利和保持科学的领先地位……我们再也不能坐视这样的情况发生了，即我们的儿童并不能通过学校教育从数学上为21世纪作好准备。挑战是明显的，机会就在眼前。是行动的时候了。”

3.转向“实践性智慧”。

如何才能同时做好“大众数学”与“20％最好的学生在数学上的更好发展”?笔者以为，就当前而言，应当积极倡导这样一个立场：直面现实，积极实践，并能通过认真的总结与反思不断发展自己的实践性智慧。

为了清楚地说明这一点，让我们重新回到上面提到的贲友林老师的一个教学实例：“鸡兔同笼”问题的教学。

由于很多学生在上课前都已学过这一内容，因此，任课教师必须面对的一个问题是，在教学中应当如何去处理学生中存在的巨大差异——“学生现在在哪里?学生将走向哪里?学生如何走向那里?”

当然，使各种学生都能有所收获，应是教学的主要目标，特别是，我们既不应让“先进”学生事实上充当了“陪读”的角色，也不应使“后进生”越掉越远。

由此可见，我们在这一方面的基本立场：第一，明确承认学生间存在的巨大差距；第二，努力使各种学生都能有所收获。

文章作者贲友林老师提出：“孩子的‘已有、‘已知，就是教学资源，应当充分地加以利用。教师引导学生将自己原有的认识外化出来与全班交流，这是更有效的‘导。于是，我组织‘兵教兵。而我，关键处追问……从而让学生的思考走向深入，认识得到提升。”

由于这一堂课的主要目标是帮助学生较好掌握“假设”这一解题策略(如假设“全部都是鸡”，或“全部都是兔子”，再根据误差作出调整……)，因此，这里的首要问题就在于：我们应当如何去处理学生的其他做法，特别是一些学生所采用的方程解法?

贲友林老师指出：“我以为，方程解法与算术解法应当并驾齐驱。不过，本节课侧重‘假设。于是，我在学生试做之后，让学生先是展示方程解法，并对‘如何设未知数以及‘列方程所依据的等量关系着重让学生理解。继而，交流‘假设思路。在学生对‘假设有了充分的认识之后，我又杀了个‘回马枪，学生的思维豁然开朗：方程，其实也是假设。”

另外，贲友林老师的以下论述则关系到了教学中的另一“敏感问题”：“课中，我呈现了一个二年级学生的解题思考过程(因为这是二年级的学生，又是该班班主任老师的儿子)，全班学生兴致盎然。但我如果呈现另外一位同学所采用的‘一一列举方法，那是否会被班级中的其他同学认为他的方法比较‘笨而遭嘲笑?……我不能因为某一个学生的解法被呈现而受到伤害。”由此可见，我们在教学中应当充分注意学生的特殊性，帮助所有学生都能取得积极的进步。

4.一些更为基本的教育思想。

最后，应当强调指出，除去具体的教学方法与教学思想以外，这里所说的问题还直接关系到了一些更为基本的教育思想，包括“数学教育哲学”。

首先，我们究竟应以何者作为教育特别是基础教育的基本目标，是承认学生间必然存在的差异，并主要着眼于这一基础之上的个人发展，还是应当努力缩小学生间可能存在的差距?应当指出，这两种立场集中反映了东西方教育思想的一个重要区别。从而，我们也就应当不断增强自身在这一方面的自党性。

其次，东西方数学教育(乃至一般教育)思想的又一重要区别，是如何看待“打好基础”与“积极创新”之间的关系。这就正如别格斯所指出的：“在西方，我们相信探索是第一位的，然后再发展相关的技能；但中国人则认为技能的发展是第一位的，后者通常则又包括了反复练习，然后才能谈得上创造。”显然，认识的这一差异对于我们究竟应当如何去“促进20％最好的学生在数学上实现更好的发展”也有十分重要的影响。

当然，上述问题的彻底解决已经超出了一线教师的日常工作范围，而且，由于其中所涉及的都是较深层面的教育思想，更集中反映了东西方教育思想的差异或对立，因此，在笔者看来，我们在此也不应刻意地去追求“对”与“错”(或者说，“先进”与“落后”)这样的简单化结论，因为，任何一种教育思想或理念都有其一定的合理性和局限性，在此最为需要的则是深入的分析与研究。如果像中国这样一个人口大国，直接从事数学教育的人更有数十万之众，但却始终没有人认真地去思考这样一些问题，那么，这就真的成了数学教育领域中的一大盲区了!