用G'/G-展开法求解(2+1)维Ablow itz-Ladik方程

李四伟，张金良

(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471003)

0 前言

由于非线性微分－差分方程(组)在非线性光学、原子物理、凝聚态物理、生物物理等领域有着广泛的应用，如脉冲在光纤中的传播、等离子体物理中Langmuir波的自聚焦和爆破等，因此，非线性微分－差分方程(组)已引起众多学者广泛的兴趣。对于非线性微分－差分方程(组)，已有很多研究方法如双线性方法［1］、达布变换法［2］、Backlund变换法［3］、广义的微分变换法［4］、离散的Sine－Gordon方程展开法［5］、指数函数展开法［6］、Jacobi椭圆函数展开法［7］、扩展的双曲正切函数展开法［8］、G'/G－展开法［9－11］等。到目前为止，没有一种统一的方法能求解出非线性微分－差分方程(组)的所有精确解。

文献［12］研究了(2+1)维Ablowitz－Ladik(AL－NLS)方程

文献［13］证明了方程(1)是不完全可积的，并对其孤波性质进行了系统分析，得到对于任意小的格子空间△x，此方程均有稳定的孤子解;求解出了方程(1)的精确线孤子解(不稳定):

由于方程(1)的精确解具有很重要的理论意义和实用价值，因此，本文利用G'/G－展开法求解方程(1)的精确解，并成功得到它的三种类型的精确行波解。

1 (2+1)维Ablow itz-Ladik方程的精确解

由于un，m(t)为复函数，设

把式(2)代入方程(1)，令实部和虚部等于零，得

依据齐次平衡原则，令

其中，a0、a1为待定常数;G (ξn，m)满足

λ、μ为任意常数。

其中，△1=;ζ1、ζ2、d2和h2为任意常数;d1和h1为满足cos(d1)cos(h1)＞0的任意常数;耦合强度ε=1/△x2。

利用方程(7)的解，可导出方程(1)的精确解:

情形2 当λ2－4μ＜0时，类似于情形1，可得出方程(1)的精确解:

情形3 当λ2－4μ=0时，类似于情形1，可得方程(1)的解为:

2 结论

本文将G'/G－展开法应用于(2+1)维Ablowitz－Ladik(AL－NLS)方程的求解中，当耦合强度ε= 1/△x2，σ=1(散焦)时，得到了该方程的双曲函数形式的精确解、三角函数形式的周期波解和有理函数形式的行波解，这些精确解含有较多的任意参数。利用Mathematica软件，验证了所得精确解的正确性。可见，在求解非线性微分－差分方程(组)精确解方面，G'/G－展开法是一个非常有效、直接、简便的方法。

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