混沌时间序列预测的改进型加权一阶局域法❋

钱 锋，王可人，冯 辉，金 虎

（解放军电子工程学院，合肥230037）

混沌时间序列预测的改进型加权一阶局域法❋

钱 锋，王可人，冯 辉，金 虎

（解放军电子工程学院，合肥230037）

提出了一种用于混沌时间序列预测的改进型加权一阶局域法。用衰减系数对分维指数加权一阶局域法的向量距离公式进行修正，调节邻近点与中心点的相关性，也调节了同一邻近点的各个分量和中心点的最后一个分量的关联程度。利用该方法对Logistic混沌时间序列进行预测的结果表明，衰减系数取最佳值时，相对于现有算法，该方法可以更精确地预测混沌时间序列。

混沌时间序列；预测模型；加权一阶局域法；衰减系数

1 引言

混沌时间序列预测已经成为一个非常重要的研究方向，并在天气预报、电力负荷预测调度、信号处理、边坡位移、自动控制、电子对抗等领域中得到了广泛应用［1-2］。

用相空间重构［3-5］来预测时间序列有多种方法，根据拟合相空间中吸引子的方式可分为全域法和局域法两种。全域法是将轨迹中的全部点作为拟合对象，找出其规律，由此预测轨迹的走向。局域法是将相空间轨迹的最后一点作为中心，把离中心点最近的若干轨迹点作为相关点，然后对这些相关点作出拟合，再估计轨迹下一点的走向，最后从预测出的轨迹点的坐标中分离出所需要的预测值。

吕金虎等人［6］提出了用加权一阶局域法进行点预测，在电力系统短期负荷预测中有较好的应用。由于引进了权值，加权一阶局域法有较好的自适应能力和较高的预测精度，在交通流量预测［7］、谐波电流预测［8］、低压电力线信道噪声预测［9］等方面也得到了成功应用。文献［10］分析了基于欧氏距离局域预测法存在的缺点，以关联度代替欧氏距离定义权重，在一定程度上克服了欧氏距离不能完全反映最邻近点与预测中心点之间关联程度的缺点。文献［9］基于邻近点的各分量对预测的影响依其时间延迟呈Lyapunov指数衰减的思想，对欧氏距离公式进行修改，提出分维指数加权一阶局域法。修正后的距离公式体现了各相点与中心点的相关性，其方法相对于加权一阶局域法在预测精度上有明显提高，而且时间序列的混沌性越强，嵌入维数越大，改进效果越明显。

本文在文献［9］的基础上从修正的向量距离公式中消除最大Lyapunov指数，引入衰减系数β，对具有指数形式的衰减因子进行修正，修正后的向量距离公式能够更好地体现相点的不同分量对预测的影响程度。通过调节衰减系数的大小，可以调节各相点与中心点的相关性，进一步优化邻近点的选取，使得每个邻近点对应的权值能更好地体现邻近点对预测的贡献，进而提高预测性能。通过数值仿真发现，衰减系数取最佳值βopt时，本文方法的预测效果明显优于文献［9］的预测效果。另外，本文方法不需要计算最大Lyapunov指数，不仅节省了计算时间，而且大大减少了计算时所需的存储空间。

2 算法介绍

加权一阶局域法一般包括重构相空间、选取邻近点、计算预测模型的参数、预测计算4个步骤。

2．1 重构相空间

在重构相空间中，时间延迟τ和嵌入维数m的选取具有十分重要的意义。本文采用互信息法计算时间延迟τ，由G-P算法计算时间序列的关联维数d，再由Takens定理选定嵌入维数m，于是时间序列xi（i=1，2，…，N）的相空间可以表示为

式中，t=1，2，…，M；M=N-m( ) -1τ。

2．2 选取邻近点

设中心点Xl的k个最邻近点为Xli（i=1，2，…，k），并且到Xl的距离为di，设dm是di中最小值，定义点Xli的权值为

式中，c为参数，一般取c=1。

文献［9］在文献［6］方法的基础上提出分维指数加权一阶局域法，用表征混沌系统轨道发散快慢的最大Lyapunov指数和邻近点的各维所对应的时间延迟的乘积作为幂，构造一个指数形式的衰减因子对欧氏距离公式进行修改。本文引入衰减系数β替换原向量距离公式中的最大Lyapunov指数λ1，于是向量距离公式修改为

式中，xl+(j-1)τ为中心点Xl的第j个分量，xli+(j-1)τ为第i个邻近点Xli的第j个分量。

式（3）中的衰减系数β和文献［9］中修正的向量距离公式中的最大Lyapunov指数相比，不再是一个固定的参数，它的引入使得各相点与中心点的距离相关性可以调节，也调节了同一邻近点的各个分量和中心点的最后一个分量的关联程度，进而影响邻近点的选取，使得每个邻近点对应的权值能更好地体现邻近点对预测的贡献。

2．3 计算预测模型的参数

一阶加权局域线性拟合为

式中，m维向量e=(1，1，…，1)T，a和b为拟合所需的实系数，Xli+1是Xli一步演化后的相点。应用加权最小二乘法有：

将上式看作是关于未知数a和b的二元函数，两边求偏导并令偏导数为零，得到一个方程组：

解此方程组确定a和b的值。

2．4 预测计算

中心点Xl的一步预测相点Xl+1=a·e+b·Xl，代入a和b的值得到预测模型为

式中，中心点Xl的一步预测向量Xl+1的第m维分量xl+1+(m-1)τ即为时间序列下一时刻的预测值。

3 实验仿真研究

为了检验算法的效果，本文取如下数据进行研究。用Logistic映射x（n+1）=μx（n）［1-x（n）］按照表1分别选取不同参数μ生成4组混沌时间序列［9］，迭代初始值均为0.4，重构相空间后每组数据2 600个相点，前400个相点舍弃，中间2 000个相点构成训练集，根据公式（3）从中选取距中心点最近的m +1个最邻近点，最后200个点用来预测，即校验集。

模型预测性能评价标准采用相对误差er，其定义为

为了便于分析衰减系数β对预测性能的影响效果，本文在衰减系数β的不同取值情况下，分别计算了4组Logistic映射时间序列的预测相对误差，得到了如图1和图2所示的关系曲线。

在图1和图2中，“×”表示衰减系数β=λ1时的预测误差，“+”表示相对误差曲线的最低点，此时的衰减系数即最佳值βopt，如表1所示。衰减系数β=0时，本文方法等效为常规加权一阶局域法；衰减系数β=λ1时，本文方法等效为分维指数加权一阶局域法。可以看出，通过适当选择衰减系数β的取值，可以选取与中心点相关性大的邻近点，进一步突出预测贡献大的分量所占的比重，从而提高预测精度。

同时还可以看出，衰减系数最佳值βopt和最大Lyapunov指数之间并不存在某种明确的数学关系。最大Lyapunov指数表示的是系统全体轨道在无穷多步演化条件下的平均发散程度。最大Lyapunov指数不适合直接使用在式（3）中来衡量邻近点和中心点的相关性。另外，衰减系数β→+∞时，相对误差曲线会逐步收敛，此时公式（3）体现的距离相关性几乎只与相点的最后一个分量有关，其它延迟分量对权值Pi的影响全部被忽略，即舍弃了可供利用的大量有用信息，将不可避免地使得相对误差趋向某个极限值，而非最佳值。

当衰减系数取βopt时，用本文方法和文献［9］方法对上述4组数据分别进行预测，相对误差如表2所示。可以看出，本文方法的预测效果更好。

4 结论

对混沌时间序列重构相空间后，预测值为预测向量的最后一个分量，它与邻近点的最后一个分量的相关性最大，与其它延迟分量的相关性随各分量对应的时间延迟而衰减。仿真研究表明，最大Lyapunov指数不适合直接使用在文献［9］构造的向量距离公式中衡量邻近点和中心点的相关性。本文引入衰减系数β，替换其向量距离公式中的最大Lyapunov指数，调节各邻近相点与中心点的距离相关性，也调节了同一邻近点的各个分量和中心点的最后一个分量的关联程度，因此，本文模型可以更精确地预测混沌时间序列。

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QIAN Feng was born in Jiangyan，Jiangsu Province，in 1981. He received the M.S.degree in 2006.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns chaos theory and applications.

Email：qian-fn＠126.com

王可人（1957—），男，江苏镇江人，1986年获硕士学位，现为教授、博士生导师，主要研究方向为现代通信理论与技术、非线性理论与应用；

W ANG Ke-ren was born in Zhenjiang，Jiangsu Province，in 1957.He received the M.S.degree in 1986.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research interests include modern communication theory and techniques，nonlinear theory and applications.

冯辉（1978—），男，山东荣成人，2009年获博士学位，现为讲师，主要研究方向为盲信号处理；

FENG Hui was born in Rongcheng，Shandong Province，in 1978.He received the Ph.D.degree in 2009.He is now a lecturer.His research direction is blind signal processing.

金虎（1974—），男，安徽潜山人，2006年获博士学位，现为讲师，主要研究方向为信号处理、非线性理论与应用。

JIN Hu was born in Qianshan，Anhui Province，in 1974.He received the Ph.D.degree in 2006.He is now a lecturer.His research interests include blind signal processing，nonlinear theory and applications.

An Improved Adding-weight One-rank Local-region Method for Prediction of Chaotic Time Series

QIAN Feng，WANG Ke-ren，FENG Hui，JIN Hu
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

This paper proposes an improved adding-weight one-rank local-region method for prediction of chaotic time series.An attenuation coefficient is applied to amend the vector distance formula of the dimension-exponent adding-weight one-rank local-region method.The attenuation coefficient not only adjusts different relevance of each adjacent point and the center point，but also adjusts the correlation between each dimension of the same phase point and the last dimension of the center point.The Logistic chaotic time series are forecasted using the improved method，and simulation results show that the prediction accuracy is improved with the optimal attenuation coefficient in the proposed method compared with the original one.

chaotic time series；prediction model；adding-weight one-rank local-region method；attenuation coefficient

TN914；O415.5

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.05.007

钱锋（1981—），男，江苏姜堰人，2006年获硕士学位，现为博士研究生，主要研究方向为混沌理论及其应用；

1001-893X（2011）05-0033-04

2011-03-04；

2011-04-06