混沌电路的创新综合性实验的设计与实现

刘洪臣，孙立山

（哈尔滨工业大学 电气工程系，黑龙江 哈尔滨 150001）

0 引言

在以往的“电路”实验教学中，大多以验证性实验为主。将原来分立、单一验证性实验转变为创新综合性实验是非常必要的，这对于提高电类基础实验水平具有重要的意义。

创新综合性实验要体现创新和综合两方面。创新综合性实验在内容上首先应新颖，使学生感兴趣，其次应注重综合。通过设计综合性实验可以充分调动学生学习的积极性和主动性。学生通过查阅资料、设计实施方案、设计电路、组织实验、完成试验和攥写总结报告等过程，可以深化已学的知识，培养学生自主学习的能力、创新能力、科学研究能力、发现问题和解决问题的能力等综合研究能力。

为了培养学生综合设计分析问题的能力，将仿真实验引入到电路实验中。在进行实验验证前，通过各种仿真方法对理论问题先进行仿真验证，通过这样的方式，学生可以在今后从事科学研究时有良好的基础［1］。基于以上想法，本文设计了创新综合实验的整体方案，即：理论分析—系统级仿真—器件级仿真—实验验证。下面以Lorenz混沌系统的电路实现为例来说明该创新综合性实验的整体实施过程。

1 混沌基本方程

1963年，美国著名气象学家E.Lorenz在研究大气对流时，建立了Lorenz方程组，试图以此为基础进行天气预报。在数值计算过程中，Lorenz发现方程组的解对初值极度敏感，长时间运算结果便显示出与初值无关的特性。Lorenz借此重提庞卡莱在19世纪就已经提出的混沌概念，并掀起了对其的研究热潮。

Lorenz系统的状态方程为［2］

式中，σ，γ，β是描述大气运动所需要的一些常量，研究中广泛采用：σ＝16，γ＝45.92，β＝4。

解下面非线性代数方程可得到方程（1）平衡点：

Lorenz系统三个平衡点分别为：P1（0，0，0），P2（13.4045，13.4045，44.92） 和 P3（－13.4045，－13.4045，44.92）。通过计算三个平衡点处的特征值及Lyapunov指数可确定方程（1）存在奇怪吸引子（即混沌）。

2 基于Matlab的系统级仿真

采用 Matlab对方程（1）进行仿真［3］，我们可在Matlab／Simulink仿真环境下，只需利用求和、乘法、放大、积分等基本运算功能就可将方程（1）解出，并不需要关心采用什么具体的电路元器件来实现。基于Matlab的系统级仿真如图1和图2所示。仿真结果如图3所示，其中图3（a）为x1－x2相图，图3（b）为x2－x3相图。通过图3可以很直观的看到双涡卷混沌，并可以看出每一相时域信号的幅值范围，可为下一步的电路实现作为参考。

3 基于PSpice的器件级仿真

图1 Lorenz混沌系统的Matlab仿真图

图2 模块Lorenz的内部结构图

图3 Lorenz混沌系统matlab仿真相图

PSpice是电路仿真分析中常用的软件，是目前流行的EDA软件之一［4］。采用PSpice对方程（1）进行仿真，需要对方程中的每一相都采用电路模型来具体实现，同时可以对电路模型中的参数和分析方法进行修改，方便对电路的设计。由方程（1）可知，要想实现该方程需要用到放大、积分、求和、相乘等基本功能，为了实现这些功能，采用运算放大器来实现放大、积分和求和功能，采用乘法器来实现乘法功能。由运算放大器知识可知，运算放大器的最大输出电压为供电电源电压，而常用的运算放大器一般采用±12V、±15V及±18V的双电源或单电源供电，而由上步 Matlab／Simulink仿真结果可知，Lorenz系统三个状态的范围分别是x1∈（－20，20），x2∈（－25，25），x3∈（5，45）。方程（1）三个信号的幅值范围均超出供电电压，为了能够采用实际器件来实现Lorenz混沌系统，需要对方程（1）进行坐标变换。变换后的方程如式（3）所示，变换后的信号幅值范围为变换前的十分之一。

基于PSpice的Lorenz混沌系统的仿真如图4所示。仿真结果如图5所示。从结果中看出与Matlab仿真结果相同。

图5 Lorenz系统PSpice仿真相图

有了上步的PSpice仿真过程，便可采用实际的电路器件来实现该混沌系统，实际硬件系统参数与图4中参数相同。通过实际构建实验电路，通过示波器观看相图，其结果如图6所示。由图可见，得到了与前面仿真相同的结果。

图6 示波器观看的相图

4 结语

创新综合性实验是对具备一定的基本知识和基本技能的学生进行综合性训练的一种复合型实验。通过综合性实验培养学生自主分析问题和解决问题的能力。本文以混沌系统实现为例说明了创新综合性实验的一般过程，通过该实验使学生掌握了微分方程的电路实现，熟悉了积分电路、放大电路以及乘法器电路的应用。而仿真与电路实现相结合的实验体系使学生熟练应用电路仿真软件、分析实验中出现的问题，预测实验结果等方面起到了很好的效果。

［1］马鑫金，黄锦安.电路综合实验的教改实践和思考［J］.上海：实验室研究与探索，2005，24：177－179

［2］刘小河.非线性电路理论［M］.北京：机械工业出版社，2009.7

［3］高爱云，陈吉芳.基于Matlab的“电路分析与实践”课程仿真实验研究［J］.北京：中国电力教育，2009：142－144

［4］刘建东.含分段线性项的混沌动力学系统的PSpice电路模拟［J］.南京：电气电子教学学报，2002.2 4（6）：35－36