第二类stirling数S(n,n-L)中n、M、L之间关系的探讨

2011-03-17程良炎

湖北理工学院学报 2011年2期

关键词：个球恒等式黄石

程良炎

(黄石理工学院数理学院,湖北黄石 435003)

1 预备引理

定义把含有n个元素的集合恰好分成r个无序非空子集的所有不同划分的数目称为第二类stirling数,记为S(n,r).

对于n=r=0时,定义S(0,0)=1,当n＜r时,S(n,r)=0.

2 对S(n,n-L)中n、M、L关系的探讨

我们这里约定L≥1,因为当L=0时,显然有S(n,n-L)=S(n,n)=1.

2.1 提出问题

前面的 4个引理都给出了 n的取值范围,即n≥M且M=2L,现在我们来尝试一下将M=2L改为M≥2L,看会出现什么结果,现以引理2为例,将条件 n≥8改为 n≥10来计算S(n,n-4).

解由S(n,n-4)的定义,不难看出将n个球放进 n-4个盒子里且每个盒子至少放入1个球的方法是:先将n-4-k个盒子里各放入1个球,再将剩余的 k个盒子共放入 4+k个球,且这 k个盒子中每个盒子至少要放入 2个球,因为n≥10,n-4-k≥0,则知k≤6,又由于球的个数必须超过盒子数,则所有盒子中放入的球数超过 1的盒子数至少是 1,则知k≥1,故k的取值范围为 1≤k≤6.

为了表达方便,先设Pi为k=i(k=1,2, 3,…4,5,6)时的分拆数.

1) 当k=1时,4+k=5,要将5个球放入 1个盒子中,其余的 n-5个盒子中各放入1个球,其球的放法只有 1种情形,相应的方法数为:

2) 当k=2时,4+k=6,将6个球放入2个盒子中,相应的放法有 2种情形,分别为: (2,4),(3,3),相应的方法数为:

3) 当k=3时,4+k=7,将7个球放入3个盒子中,相应的放法为:(2,2,3),相应的方法数为:

4) 当k=4时,4+k=8,将8个球放入4个盒子中,相应的放法为:(2,2,2,2),相应的方法数为:

5) 当k=5时,4+k=9,将9个球放入5个盒子中,每个盒子至少放入 2个球是不可能的,则相应的方法数为:

6) 当k=6时,4+k=10,将10个球放入 6个盒子中,每个盒子至少放入 2个球也是不可能的,则相应的方法数为:

将以上方法数相加得:

由此可以看出,当 n≥10时,利用引理 2是可以计算S(n,n-4)的,但是这里关键的一点就是上面 Pk中 k的取值范围如何确定,以及k取何值时才使得 Pk=0,因此文献[2]中定理反应的问题还不够全面.

2.2 探讨问题

设n≥M,在计算S(n,n-L)时,我们希望知道在 L给定的情形下怎样确定 n,k,M (n,k,M这 3个数均为正整数,k为至少装有2个球的盒子数).

首先确定 k的取值范围,将 n个球放进n-L个盒子里且每个盒子至少放入 1个球的放法是:先将n-L个盒子各放入1个球,剩余的L个球在n-L个盒子中选出若干个盒子进行放入,因此至少有 1个盒子放入球的个数大于 1,因为至少放入 2个球的盒子数为 k,显然k至少是 1,现在看 k的最大值是多少,因为剩余的L个球要在n-L个盒子已经各放入1个球的基础上最多可选出 L个盒子,且这 L个盒子中每个盒子再加入 1个球,显然 k的最大值为L,则1≤k≤L.

其次确定 M的取值范围,因为 k的最大值为L,至少要准备2L个球装L个盒子,则M必须大于或等于2L,所以M=2L或M＞2L.

我们也可从另一角度讨论 k与 L的关系,当n≥M时,为求S(n,n-L)的值,根据k依次取 1,2,…,L的情形分成 L类,在每一类中,先将n-k-L个盒子里各放入1个球,再将剩余的k个盒子共放入k+L个球,且这k个盒子中每个盒子至少要放入 2个球.

若要将k+L个球放入k个盒子中,且k个盒子中每个盒子至少放入 2个球,只有当k+L≥2k时,即L≥k时才有可能,因此有: