GM(1,1)模型的优化及应用

刘 苗, 燕列雅

(西安建筑科技大学理学院, 陕西 西安 710055 )

0 引 言

GM(1,1)模型是灰色系统理论的基础与核心，被广泛应用于工业、农业、社会经济等领域.它将系统看成一个随时间变化而变化的指数函数，不需要大量的时间序列数据就能建立预测模型.近年来，不少学者研究发现了其诸多局限性并做了改进，取得了较好的效果[1-3].文献[4]从背景值的几何意义出发，提出了优化的GM(1,1)模型，从而提高了模型的精度.文献[5]用齐次指数函数拟合一次累加生成序列，由此优化背景值，提高了精度.

本文在文献[4]、[5]对背景值优化的基础上，进一步进行了残差修正，并优化了残差GM(1,1)模型.通过数据比较表明本文优化后的模型预测精度更高，具有较高的应用价值.

1 GM(1,1)模型背景值的优化

1.1 原GM(1,1)模型的建立

设非负的原始序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，X(0)的一次累加生成序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，其中

(1)

构造背景值序列Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)}，其中

z(1)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(2)

则GM(1,1)模型参数的最小二乘估计为

(3)

定义GM(1,1)的白话方程为

(4)

(5)

1.2 背景值的优化

设当Z(1)(k+1)为x(1)(t)在区间[k,k+1]上的背景值时，则有

此处的背景值即为x(1)(t)在区间[k,k+1]上的定积分.

令x(1)(t)=cebt，假设此曲线过点x(1)(k)，x(1)(k+1)，那么有

x(1)(k)=cebk

(6)

x(1)(k+1)=ceb(k+1)=cebk+eb

(7)

由式(6)、(7)得

优化后的背景值为

(8)

用背景值式(8)替代式(2)，再由公式(1)、(3)、(4)、(5)建模并对新的模型进行拟合和预测.

2 残差GM(1,1)模型的优化

z(1)(k+1)为x(1)(t)在区间[k,k+1]上的背景值，当序列为低指数增长序列时，式(5)较适合，模型偏差较小.但当序列为高指数增长序列时，式(5)会产生较大滞后误差，从而导致精度不够高.

现令

(9)

然后建立残差GM(1,1)模型，其残差修正值

优化后的预测值

3 实 例

预测值为

记文献[4]优化的GM(1,1)模型为优化模型1，本文改进的模型为优化模型2，与原GM(1,1)模型的预测值和相对残差作比较，结果见表1.

表1 优化模型与原模型计算结果比较

结果表明，由于原始序列及其残差序列是高指数增长序列，数据变化急剧，因此用原GM(1,1)模型预测结果误差很大，而本文提出的模型精度明显优于文献[4]所给出的模型.

4 结 论

(1) 本文在原模型优化背景值的基础上，进一步对残差模型进行优化，通过实例比较表明其能有效地提高预测精度.

(2) 当残差中有负数时，需先进行非负处理，再建模预测.

参考文献

[1] 刘思峰，党耀国，方志耕. 灰色系统理论及其应用(第三版)[M].北京：科学出版社，2004：125-148.

[2] 刘思峰，党耀国，方志耕，等. 灰色系统理论及其应用(第五版)[M].北京：科学出版社，2010：161-187.

[3]肖新平，宋中民，李 峰. 灰技术基础及其应用[M]. 北京：科学出版社，2005：95-112.

[4] 罗 党，刘思峰，党耀国.灰色模型GM(1,1)优化[J].中国工程科学，2003，5(8):50-53.

[5] 谭冠军. GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用(I)[J]. 系统工程理论与实践，2000,20(5):98-103.