无穷小不是以0为极限的变量

刘文浩 中南财经政法大学,湖北武汉 430073

无穷小不是以0为极限的变量

刘文浩 中南财经政法大学,湖北武汉 430073

人们的任何感官都是有限的，不可能感觉到无限的东西。无穷小与无穷大都属于无限的范畴，人们不可能直接接触到无穷小或无穷大。极限为0的变量是现实的，人们可以感觉到极限为0的变量。凡是人们能感觉到的东西都是有穷的，都不是无穷的；而无穷的东西是人们不可能感觉到的。无穷小存在于有穷之中，人们只能通过有穷来认识无穷小。

无穷小；连体；寓数

1、无穷小是大于0的最小的常数

有人把无穷小视为以0为极限的变量，这一观点有合理的成分，它澄清了无穷小“似0非0”的模糊认识。这就是说，无穷小在变化过程中，其值可以是非0，但它变化的趋向是0，它可以无限地接近0。这一思想对人们认识无穷小有推动作用，但它毕竟是错误的。

无穷小是大于0的最小的常数，它不是变量。变数或变量，是指没有固定的值，可以改变的数。它以非数字的符号来表达，一般用拉丁字母来表达。变量与常数是相反的，无穷小是常量不是变量。如果说无穷小是变量，那么它变化的范围何在？

无穷小是大于0的最小的数。它略微小一点就成了0，它略微大一点就不再是无穷小。在那些极限为零的变量中，凡是没有到达无穷小的当然大于无穷小。变量的用处在于它能一般化地描述指令的方式。变量用于开放句子，表示尚未清楚的值，即变数，或一个可代入的值。而无穷小有确定的值。

无穷小与0交界，因而那种极限为0的变量也是通向无穷小的，但此趋向本身并不是无穷小。极限为0的变量是现实的，通向无穷小的趋向也是现实的，而无穷小只能存在于有限之中。人们的感官可以感觉到极限为0的变量，可以感觉到通向无穷小的趋向，但不可能直接接触到无穷小。

人们的任何感官都是有限的，它只能感觉到有限的东西，它怎么会感觉到无限的东西呢？人们感官不可能感觉到无穷大，同样也不可能感觉到无穷小。无穷小属于无限的范畴，那种想凭感官直接感觉到无穷小的想法，只是幻想。人们只能通过有限认识无限。可以说，凡是人们能感觉到的东西都是有穷的，都不是无穷的；而无穷的东西是人们不可能感觉到的。

无穷小的物质是不能单独存在的，它与有穷小的物质有机地结合在一起。与此相适应，无穷小的数字也应该与有穷小的数字结合在一起。在某些统一体中，无穷小的事物对该统一体的性质起一定的作用。要从统一体中将有穷小的物质与无穷小的物质分割开来，不同于将一般有穷物质分割开来。

2、无穷小的特点

无穷小有三个特点：一是它只能在有穷之中，或者说它只能在有限之中；二是对有穷的无数次分割通向无穷小；三是它不能独立存在，人们不可能直接感觉到它，而只能通过有穷认识它。无穷小与无穷大都不能单独存在，当然有穷也不是离开无穷而单独存在，但人们可以凭感觉直接认识有穷。

无穷小与无穷大有共同点也有不同点，或者说无限小与无限大既有共同点也有不同点。无穷大是无数有穷之和，无穷大寓于有穷之中。无穷小是对有穷的无数次分割的结果，无穷小也只能存在于有穷之中。无穷小与无穷大都是不能单独存在的，二者都离不开有穷，在有穷之外没有无穷大，也没有无穷小。人们只能通过有穷来认识无穷小或无穷大。

无穷小只能在有穷之中。无穷小大于0，它不属于无的范围。无穷大也属于有的范围，它也不是变量。

无穷与有穷的关系有两种;一是无穷大与有穷的关系；二是无穷小与有穷的关系。无穷大寓于有穷之中，无穷小也存在于有穷之中。无穷大与有穷不可分割，无穷小也与有穷不可分割。

无穷小是存在的，但通向无穷小的过程是一个无限的过程。有些人到有穷之外去找无穷小，这是错误的。到有穷之外去找无穷小，也就是到无中去找无穷小。无穷小属于有的范围，它只能在有穷之中，但无穷小与有穷是有区别的。

有穷与无穷的关系问题不仅是一个数学问题，也是一个物理学问题，同时也是一个哲学问题。因为是同一问题，所以无论从什么角度讲，其结论应该是相同的。真理只有一个，不能因为学科不同而对同一问题得出不同的结论。

3、连体量

什么是连体量？我们以“现在”的量为例来说明。在过去与未来之间有没有“现在”呢？如果说没有，那么我们就只能生活在过去或未来。这可能吗？如果说有，那么其量是多少呢？或者说“现在”的长度是多少呢？“现在”的长度最短应该是无穷短，或者说无穷小，但无穷小是不能独立存在的，它只能存在于有穷之中。因此，“现在”的量是无穷小与有穷小的统一。这是两个量的统一，可以说是连体量，也可以说是连体数。因无穷小寓于有穷之中，故连体数也可称作寓数。“现在”的量也就是四维空时中时间一维的量。

为了理解连体量，我们打个比方。我们将一萝卜切断，然后思考这一萝卜在切断前其切断处的状况。这一萝卜在切断前其切断处当然是连接在一起的，其连接处有一定的长度，这一长度最短应该是无穷短，或者说是无穷小。但是无穷短或者说无穷小是不能单独存在的，它只能存在于有穷之中，因而这一长度的量只能是一个连体量。

从分子到原子再到粒子，这已是微观世界。微观世界的某些物质如粒子等其运动属高速运动，高速运动是指达到光速或与光速相当的高度。任何运动都与四维空时有联系，但高速运动与四维空时的联系明显。从夸克开始宇宙进入了微观世界末期，其特点是在无穷小与有穷小的事物构成的统一体中，无穷小的事物对统一体的性质起一定的作用。其中某些物质的运动也属高速运动。在微观世界末期，通向以无穷小为目标的趋向较明显，这种趋向是通向无穷小的，但此趋向本身并不是无穷小。

对有穷事物的不断分割通向无穷小，这一过程是一个无限的过程，微观世界末期是一个无限的期间。反过来看，宏观世界的末期也是一个无限的期间。越来越大的星系通向无穷大，通向无穷大的过程也是一个无限的过程。

无穷小的事物是不能独立存在的，因而最小的事物不是无穷小的事物而是无穷小的事物与有穷小的事物构成的连体物。

微观世界末期事物的分割有其特点。虽然事物中都有无穷小的事物，但在较大的事物中无穷小的事物对统一体的性质不起作用，或者所起作用微不足道。而从夸克开始，某些无穷小的事物对有穷小的事物与无穷小的事物所构成的统一体的性质可以起到一定的作用。

夸克与胶子等构成电子，其中有多少种无穷小的事物，每种无穷小的事物有多少数量，它们对统一体的性质究竟起多大的作用，这只能由实验来探明。在电子这类事物中，要将夸克分割出来，就必须将其中的无穷小的事物引导到其他事物中去。这是因为这些无穷小的事物不能独立存在，它们只能存在于有限的事物之中。人们只有将统一体中的某些无穷小的事物引导到其他事物中，才有可能将其中的有穷小的事物分离出来。

由于某些无穷小的事物对统一体的性质起一定的作用，而且无穷小的事物又不能独立存在，所以在微观世界末期人们对事物分割的难度较大。越是接近无穷小的事物，越难以分割。至于无穷小的事物，它不仅不可分割而且通向无穷小的过程是一个无限的过程。可以说，无穷小的事物不可分割，而无穷小的事物对统一体的性质可以起到一定作用的事物则难以分割。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.07.158

刘文浩 男 山东肥城人 中南财经政法大学副教授 从事物理学研究。