单向变厚度Levy型薄板的自由振动分析

苏淑兰，饶秋华，王银邦

（1. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410083；2. 中南林业科技大学 土木工程与力学学院，湖南 长沙，410004；3. 中国海洋大学 工程学院，山东 青岛，266100）

单向变厚度Levy型薄板的自由振动分析

苏淑兰1,2，饶秋华1，王银邦3

（1. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410083；2. 中南林业科技大学 土木工程与力学学院，湖南 长沙，410004；3. 中国海洋大学 工程学院，山东 青岛，266100）

针对单向变厚度Levy型薄板的自由振动问题，基于薄板振动理论，将设定的挠度函数代入关于挠度的变系数四阶偏微分的振动控制方程，把变系数四阶偏微分方程求解挠度的问题转化为第二类Volterra积分方程的求解，并采用二次样条函数近似求解积分方程，建立单向变厚度Levy型薄板自由振动固有频率的求解方法。对3种不同边界条件的Levy型薄板最低固有频率的算例进行验证。研究结果表明：该方法合理可靠、计算简便，满足精度要求；该方法还可进一步推广到求解任意单向变刚度Levy型薄板自由振动的最低固有频率。

Levy型薄板；自由振动；固有频率；二次样条函数；变厚度

变厚度矩形薄板具有密度低、板厚度小且变化可以改变其共振频率等优点，已广泛应用于船舶、海洋和航空航天等工程结构中。由于共振容易导致板结构的破坏，变厚度矩形薄板的振动分析尤其是固有频率的求解越来越引起人们的高度重视。因变厚度矩形薄板的振动控制方程为变系数的四阶偏微分方程，只有在极少数情况下才能求得固有频率的解析解[1−2]，更多的是采用近似方法进行数值求解，如有限元法[3−4]、有限差分法[5−6]、能量法[7−9]、有限板条法[10−11]、单向级数法[12]、幂级数法[13]、微分求积法[14]和Green函数法[15]等。但这些方法都各有其自身的优点和缺点，如：能量法能够有效地求解自由振动问题，但挠度函数的选取要考虑板边界条件；幂级数法的精确度很高但收敛很慢。目前，人们一直致力于寻找一种更简单有效、更精确的方法求解变厚度矩形薄板的自由振动问题。在此，本文作者用一种新的二次样条函数近似求解该问题，并通过与已有结果的比较来说明其有效性和精确性。针对单向变厚度Levy型（一对边简支、一对边任意支承）薄板的自由振动问题，基于薄板振动理论，通过将设定的挠度函数代入关于挠度的变系数四阶偏微分振动控制方程，将变系数偏微分方程求解问题转化为第二类Volterra积分方程的求解，并采用二次样条函数近似求解该积分方程，建立其固有频率的求解方法，以便为单向变厚度Levy型薄板结构的振动分析及稳定性设计提供科学依据。

1 自由振动控制方程

长为a、宽为b的Levy型薄板如图1所示，在x=0和x=a两对边简支，在y=0和y=b两对边任意支承，其简支边界条件为：

其中：w为挠度。

设该薄板厚度h沿y方向单向变化，h=h（y）。根据薄板振动理论，该Levy型薄板自由振动的挠度控制方程为：其中：D（y）为弯曲刚度；µ为泊松比；γ为板的密度。

图1 Levy型薄板Fig.1 Levy plate

由于式（2）为变系数的四阶偏微分方程，难以求得挠度w的解析解，故采用近似解法求解。

对于自由振动问题，设挠度函数为：

式中：A1m，A2m，A3m和A4m为待定系数（由y=0和y=b处边界条件确定）；φm（ξ）为未知函数，αm= mπ/a；m为正整数。显然，挠度函数式（3）自动满足x=0和x=a两对边边界条件（1），它还满足控制方程（2）。将式（3）代入式（2）得：

式（5）是关于未知函数φm（y）的第二类Volterra积分方程，其中：

因此，求解变系数偏微分方程（2）的解析解转化为求解关于φm（y）第二类Volterra积分方程（5）的近似解。

2 固有频率近似解

关于积分方程式（5），φm（y）可采用如下形式的二次样条函数作为近似解：

其中：yi（i=0, 1, 2, …,k；k为由计算精度确定的正整数）为薄板宽度[0,b]内的划分点；fm0，fm′0，fmj（j=1, 2, …,k）为待定系数；H（y-yj-1）为Heaviside函数。

将式（6）代入式（5），得到以下线性方程组：

将二次样条函数近似解（6）代入挠度函数（3）进行积分，便可得到挠度的近似解：

将含有待定系数fm0，fm′0，fmj（j=1, 2, …,k）的方程组（7）和y=0与y=b的2个边界条件联立，构成了关于A1m，A2m，A3m，A4m，fm0，fm′0和fmj（j=1, 2, …,k）的k+6个方程组。对于薄板的任何振动，振形函数W必须具有1个非零解，令该k+6个方程组的系数行列式为0，即可得到固有频率的计算方程。

3 算例验证

如图2所示，考虑工程中常见的厚度沿单一方向线性变化的Levy型薄板，设厚度变化系数为β，厚度其结构及材料参数分别为：板的长a为1 m，宽b为 1 m，y=0处板厚度h0=0.5 cm，板材料密度γ=2 790 kg/m3，弹性模量E=69.7 GPa，泊松比µ=1/3。

图2 线性变厚度板Fig.2 Rectangular plates with linearly varying thickness

本文讨论3种不同约束边界下的单向变厚度Levy型薄板：四边简支（简称SS板），三边简支、一边固支（简称CS板），一对边简支、一对边固支（简称CC板）。具体边界条件如表1所示。 将挠度的近似解（8）代入边界条件，可分别得到SS板、CS板、CC板关于待定系数A1m，A2m，A3m和A4m的方程组。

下面以SS板为例，具体说明本文方法的应用。

对SS板，联立式（7）和式（9a），得到关于A1m，A2m，A3m，A4m，fm0，fm′0和fmj（j=1, 2, …,k）的方程组，取挠度项数m=1及薄板宽度划分点k=4，将上述方程组进行整理，并写成矩阵形式如下：

其中：S（ω）为10×10的系数矩阵。

由于式（10）具有非零解，故该系数行列式必须为0，即：

式（11）即关于固有频率ω的计算方程。为求解该式得到最低固有频率ωmin及其频率参数，本文采用Fortran语言编程计算，具体流程图如图3所示。从设定的初始值ω0（该值取为四边简支等厚度矩形板的最低固有频率）开始循环，直到|det[S（ω）]|≤0.000 01（近似有|det[S（ω）]|≈0），此时ω即为最低固有频率ωmin，计算结果如表1所示。为便于比较，表1还列出了文献[12]中采用幂级数法计算的频率参数结果。

表1 Levy型线性变厚度薄板最低固有频率及频率参数计算结果Table 1 Calculation results of lowest natural frequency and frequency parameter of three Levy thin plates with different boundary conditions

图3 计算薄板频率参数流程图Fig.3 Flow chart of calculated frequency parameters of thin plate

由表1可知：各种Levy型薄板的最低固有频率ωmin及频率参数λ均随着厚度系数β的增大而增大；当厚度系数β相同时，不同类型的Levy型薄板的ωmin和λ从小到大的排序为SS板、CS板、CC板，即ωmin和λ均随着约束的增强而增大。本文在划分点较少（如k=4）的情况下，计算Levy型等厚度薄板得到的λ与解析值很接近，计算Levy型变厚度薄板得到的λ与文献[12]中采用幂级数法计算得到的结果基本一致，表明该方法合理可靠，计算简便，且能满足精度要求。

4 结论

（1） 基于薄板振动理论，将设定的挠度函数代入关于挠度的变系数四阶偏微分的振动控制方程，把变系数偏微分方程求解挠度的问题变换成第二类Volterra积分方程求解，并采用二次样条函数近似求解该积分方程，建立了单向变厚度Levy型薄板自由振动固有频率的求解方法。

（2） 各种Levy型薄板的最低固有频率ωmin及频率参数λ均随着厚度系数β的增大而增大；当厚度系数相同时，不同类型的Levy型薄板的ωmin及λ均随约束的增强而增大。这表明所提出的方法合理可靠，计算简便，且能满足精度要求。该方法可进一步推广到求解任意单向变厚度的Levy型薄板自由振动的最低固有频率。

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（编辑 陈灿华）

Free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying thickness

SU Shu-lan1,2, RAO Qiu-hua1, WANG Yin-bang3

（1. School of Civil Engineering and Architecture, Central South University, Changsha 410075, China;
2. College of Civil Engineering and Mechanics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, China;
3. College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China）

Based on vibration theory, a new solution method for natural frequency of free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying thickness was established by substituting an unknown function into the four-order partial differential equation of vibration with variable coefficients, and then the second Volterra integral equation was solved with quadratic spline function. The results show that the new method has the lowest natural frequency of three Levy-plates with different boundary conditions, verifying that this new solution method is reliable and simple with sufficient accuracy and can be applied for analyzing free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying rigidity.

Levy-plate; free vibration; natural frequency; quadratic spline function; varying thickness

TU311.1

A

1672−7207（2011）05−1413−06

2010−06−11；

2010−09−20

国家自然科学基金资助项目（20476106，50721003）

饶秋华（1965−），女，江西丰城人，博士，教授，从事工程力学研究；电话：13787265488；E-mail： raoqh@csu.edu.cn