基于频响函数的结构健康监测主成分分析法

朱军华，余 岭

(1.暨南大学 力学与土木工程系，广州 510632;2.暨南大学 重大工程灾害与控制教育部重点实验室，广州 510632)

基于频响函数的结构健康监测主成分分析法

朱军华1，2，余 岭1，2

(1.暨南大学 力学与土木工程系，广州 510632;2.暨南大学 重大工程灾害与控制教育部重点实验室，广州 510632)

基于测试频响函数，提出一种简单而有效的结构健康监测主成分分析(PCA)新方法。以结构的频响函数作为基本数据，首先将结构健康状态下的频响函数数据作为基本训练样本，通过PCA技术提取结构健康状态特征，并获得结构健康特征变换矩阵，即协方差的特征向量矩阵;然后再对损伤结构的测试频响函数数据进行转换以提取结构相应损伤状态特征;最后在二维PCA空间比较两次提取的结构状态特征分布图即可判断结构是否发生损伤并评估其损伤程度。两个数值算例表明基于频响函数的结构健康监测主成分分析新方法正确有效。该方法基于结构振动响应，与模型无关且诊断前无需大量的训练样本、计算量小、抗噪性能好，具有良好的应用前景。

主成分分析;频响函数;损伤识别;结构健康监测

结构健康监测问题本质上是一类统计模式识别问题［1］。因为损伤检测过程可以看作是对两类或多类信息的识别过程，如识别来自健康或损伤结构的信息、识别来自不同损伤程度或不同损伤位置的信息。由于从模式识别角度提出的方法一般是基于结构振动响应，对模型依赖性较小，大量研究成果表明这种基于数据的检测方法有较大的应用前景，这类方法包括有Fisher判别法［2］、神经网络法［3］、支持向量机［4］、控制图分析［5］、边缘分析［6］、假设检验7］以及其它方法［8，9］，Sohn等人［1］对这一类损伤判别方法做了详细的综述，虽有不少优势，但亦面临不小挑战。

主成分分析法(PCA)是一种常用的数据压缩方法。目前，PCA已广泛应用在包括过程控制和损伤诊断的多个领域中［3，5－9］。在结构损伤识别领域中，Zang［3］利用PCA对频响函数(FRF)数据进行压缩，并将压缩后的数据作为神经网络的输入，研究了火车车轮的损伤检测;Kullaa［5］利用PCA对固有频率和振型数据进行压缩，通过控制图分析方法检测Z24桥的健康状况;Mustapha等［6］利用PCA对超声波数据压缩，通过边缘分析研究了筒形结构的损伤识别;Yan和Kerschen［8］等提出一种考虑环境因素变化下的结构损伤检测方法，该方法以结构固有频率作为初始特征，通过PCA变换得到各阶主成分，认为前m阶主成分对应于m个环境因素对特征变化的影响，因此，去除这些主成分即可以消除环境的影响，通过定义的损伤指标对损伤进行检测。Trendafilova等［9］采用广义自相关矩阵计算主成分，提出一种修正的PCA，将FRF数据作为初始特征，采用模式识别方法对特征数据进行分类，以此来判别损伤。

综上所述，可以看出虽然PCA应用在损伤诊断领域得到广泛的应用，但大多数方法仅仅利用PCA进行数据压缩［3，5，6］，采用其它方法进行分类判别，少数方法利用了PCA直接进行分类［9］，采用模式识别方法判别损伤，这些方法需要结构损伤前、后的大量样本进行训练才能应用，而样本数据在实际应用时很难得到，或者需要建立精确的数值模型来获得样本数据，因此，这些方法在实际应用时仍存在许多因难。

本文基于结构的测试频响函数提出一种简单易行的结构健康监测与损伤判别新方法。首先将结构健康状态下的频响函数数据作为基本训练样本，利用PCA从训练样本中提取特征变换矩阵，然后利用该变换矩阵分别获得训练样本和测试样本的主成分，进而对前2阶主成分在2维PCA空间作图，即可以判别结构是否损伤，通过简支梁和多跨连续梁的两个数值算例验证所提方法的正确性。由于该方法不需要结构损伤状态的数据以及结构模型信息，并且计算量很小，非常有利于在实际工程中应用。

1 损伤检测原理

1.1 结构运动方程

对N自由度的结构，其运动微分方程为:

其中，M、C、K为N×N的质量、阻尼、刚度矩阵。如果假定输入为简谐荷载，则外力与位移响应可表示为f(t)=F(ω)ejωt，x(t)=X(ω)ejωt，将其代入式(1)得:

其中，H(ω)=( － ω2M+jωC+K)－1即为频响函数矩阵，其第(i，j)元素表示在第j自由度方向施加单位简谐荷载时，在第i自由度方向产生的位移响应。响应测点i与激励点j之间的位移频响函数为:

式中ωr为结构的第 r阶模态频率，Kr，Mr，Cr是对应的模态刚度、模态质量和模态阻尼，φir，φjr分别是对应的i，j点的振型幅值。

1.2 检测方法

主成分分析(PCA)的基本思想是数据降维，即对多变量数据用尽可能少的变量来表示，这一过程通过一个正交变换来实现，即将原始数据变换为一系列不相关且其方差依次减小的新数据。当原始数据各变量之间相关时，主成分分析可以获得很明显的效果。根据频响函数的分布特点，可以推断出各测点频响函数具有很好的相关性，而且频响函数在实际工程中直接测得，因此，本文利用频响函数作为基本数据对结构健康状况进行监测。

假设测得p个测点的频响函数hi(i=1，2，…，p)，每个频响函数有n条谱线，即hi为n维向量，将其组成矩阵形式H=［h1，h2，…，hp］，在结构不同状态测得的频响函数分别记为H0，H1，…。当结构健康状况发生变化时，必然体现在所测得的频响函数H中，因此，如何从频响函数的微小变化来捕捉到结构状态的变化，将成为问题的关键。

多种因素可以引起测量频响函数的变化，如不同次测量、噪声、环境温度、结构损伤等，对于不同次测量因素，可以通过增加测量次数(即样本数)使测量引起的变化得到控制，本文不考虑环境温度等因素，因此，问题的重点是区分出结构损伤和噪声引起的变化。一般认为，在有效的测量中，噪声应不影响测量结果总体分布特征，否则测量结果就失去意义。在这种意义上，可以认为提取出基准状态下的频响函数矩阵的本质特征，将会有效地克服噪声的影响。主成分分析就起到了这样一个作用。

对Hi中各变量中心化处理，即各变量化为均值为零的向量

设 λi，φi(λ1＞ λ2＞ … ＞ λp，i=1，2，…，p)分别为协方差C的特征值及对应的特征向量，则基准状态下的主成分为:

其中，Φ =［φ1，φ2，…，φp］，称为基准状态下的特征矩阵。噪声对φi(i=1，2，…，p)分布特征的影响随i的减小而减弱［10］，在一定信噪比条件下，对前几阶φi(i=1，2，…，k，k＜p)可以忽略噪声的影响。

基于以上分析，对第i状态下测量的频响函数矩阵Hi，假设结构状态与基准状态相同，即结构未发生损伤，则它的前几阶特征应与基准状态一致，由此第i状态下的主成分为:

其中I为n维单位矩阵。若将H0作为结构的基准状态(即健康)，则计算基准状态下的频响函数协方差矩阵:

结构状态未发生变化时，Z0应与Zi(i=1，2，…)的前k个主成分分布相近或者近似相同，否则结构状态必不相同。由此，可以判别结构是否发生损伤。结构状态监测流程如图1所示。

图1 结构状态监测流程图Fig.1 Structure state monitoring diagram

2 数值仿真

通过两个数值算例来验证以上所提方法的正确性和有效性。通过对前2阶主成分在二维PCA空间分布图的对比来判别是否存在损伤。

2.1 算例一——简支梁模型

如图2所示两端简支的矩形截面梁，梁长6m，截面尺寸为200 mm×500 mm，材料弹性模量为32 GPa，密度为2 500 kg/m3。首先建立梁的有限元模型，共划分15个单元，单元长度为0.4 m。采用降低弹性模量的方式来模拟单元损伤，损伤工况设置如表1所示。结构的前 4 阶固有频率分别为 9.00 Hz、36.03 Hz、81.08 Hz、144.19 Hz，为使频响函数中包含前 4 阶模态信息，采样频率设置为300Hz，即频率范围为0 Hz～150 Hz，频率分辨率为1 Hz，则共有151条频谱线。在梁上布置14个测点，激励点在测点8，在结构健康状态下，首先计算得到14个测点的频响函数，为模拟实测效果，在频响函数中分别加入10%、20%的高斯白噪声，不同噪声水平模拟不同次测量，并组成矩阵H0(302×14)。按同样方式可以获得表1对应工况下的频响函数特征矩阵H1、H2、H3、H4、H5。

图2 简支梁模型Fig.2 Simply supported beam model

表1 简支梁损伤工况Tab.1 Damage cases for simply supported beam

考虑到频响函数曲线的分布特征，即峰值与谷底值相差较大，其主成分分布也有此特点，因此，将直接计算得到的主成分数据按公式(9)转化为分贝(dB)表示。以第1主成分为横轴，第2主成分为纵轴，作两个主成分形成的平面特征分布图。

首先，由H0获得基准(健康)状态下的前两阶主成分PCs1和 PCs2，按公式(9)计算相对值(分贝)，以PCs1new为横轴，PCs2new为纵轴作分布图。以同样方式获得H1、H2、H3、H4、H5的主成分分布图，并与基准状态特征分布图比较，结果见图3～图7。从图中可以明显看出无论单元损伤还是多损伤，损伤状态下的主成分明显偏离健康状态下的主成分分布;图4表明损伤状态主成分偏离程度随损伤程度增加而增加;图5显示小损伤也能从图中判别出来。

图6 工况4损伤判别图Fig.6 Damage detection for case 4

图7 工况5损伤判别图Fig.7 Damage detection for case 5

2.2 算例二——多跨连续梁模型

如图8所示，3跨连续梁，全长24 m，单跨长8 m，其它参数同算例1，有限元模型共划分60个单元，单元长为0.4 m。损伤工况设置见表2。采样频率设置为200 Hz，即频率范围为0 Hz～100 Hz，包含结构前12阶模态，频率分辨率为1 Hz，则共有101条频谱线。在梁上布置27个测点，激励点在测点15，同算例1，可以获得结构健康状态下的频响函数矩阵H0(202×27)及对应工况下的H6、H7、H8、H9，同样方式可以作出工况 6～工况9的前两阶主成分平面特征分布如图9～图12所示。

图8 多跨连续梁模型Fig.8 Multi-span continuous beam model

从图中可以很清晰地看出结构是否损伤。同时，可以发现，多跨梁在10%以下的损伤很难判别，小损伤判别比简支梁困难。图10与图11对比可以发现，50单元更容易判别损伤，主要是因为50单元在第3跨的中间，而45单元靠近支座，因此，可以推断靠近跨中部分的损伤更容易识别。

图9 工况6损伤判别图Fig.9 Damage detection for case 6

表2 多跨连续梁损伤工况Tab.2 Damage cases for multi－ span continuous beam

图10 工况7损伤判别图Fig.10 Damage detection for case 7

3 结论

基于测试频响函数并利用主成分分析(PCA)技术，本文提出了一种简便可行的结构健康监测新方法。首先将结构健康状态下的频响函数数据作为基本训练样本，然后利用PCA提取测试样本的特征信息，进而对前两阶主成分在二维PCA空间的分布图进行比较，从而达到判别结构是否损伤和有无健康问题之目的。两个数值仿真算例表明:①本文方法是正确可行的;②该方法在实际应用时不依赖于模型，可以应用于其它类型的结构中，有较好的应用前景;③只要选定一个基准状态作为健康状态，就可以对其它状态进行评价，整个计算过程简单、计算量小，非常有利于实际在线监测;④在数值仿真模拟时，在结构频响函数中加入了10%、20%的噪声来模拟实测噪声的影响情况，结果表明该方法的抗噪性能非常理想，有望在下一步的实验研究中取得好的效果。

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A PCA-based algorithm for structural health monitoring using frequency response functions

ZHU Jun-hua1，2，YU Ling1，2

(1.Department of Mechanics and Civil Engineering，Jinan University，Guangzhou 510632，China;2.Key Lab of Disaster Forecast and Control in Engineering of Ministry of Education of China，Jinan University，Guangzhou 510632，China)

Based on measured frequency response functions(FRFs)，an easier and more efficient method for structural health monitoring was proposed by using principle component analysis(PCA)here.The FRFs of a healthy structure were used as the initial data.With this method a PCA transformation technique was used to obtain the features of the intact structure，i.e.，its principle components(PCs)with which an orthogonal transformation matrix packed using the first few eigenvectors of the covariance matrix was found.Further，the orthogonal transformation matrix was used to transform the FRFs of a damaged structure so as to find the corresponding damage state features of the structure.Both structural damage detection and structural health monitoring could be achieved by comparing the two-dimensional PCA distribution charts corresponding to the damaged state and the healthy one of the structure.Two numerical simulation examples showed that the proposed method is correct，effective and feasible.

principle component analysis(PCA);frequency response function(FRF);damage detection;structural health monitoring

O327;TU311

A

国家自然科学基金资助项目(50978123，10032005);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(21609601)

2009－09－14 修改稿收到日期:2010－06－21

朱军华 男，博士生，1980年生

余 岭 男，教授，博士生导师，1963年生