基于实际波动率的我国股市波动率实证研究

吴有英，马玉林

(1.山东财政学院会计学院;2.山东财政学院科研处，山东济南 251000)

一、前言

股票收益的波动率，对于组合选择、风险管理以及期权定价都相当重要。我们引用克莱夫·格兰［1］(2003)的一句话“过去十几年，特别是在时间序列方面，主要是波动率占据了研究的主要内容和重心”，由引可见，波动率在金融领域的地位非同一般。而对于波动率的研究，又主要集中在对它的度量和预测。回顾过去，度量波动率最初的方法始自于马克维茨的MPT理论，该理论的普及使得标准差方法极度盛行，从而使得它在经典金融学理论中得到了广泛的应用，如后来的CAPM模型、APT理论以及B－S模型等。在随后的研究中，经济学家们观察到股票收益的波动呈现出丛聚性(clustering)和时变性(time varying)，收益率正态分布的假定受到了广泛的质疑。直到1982年，Engle［2］在研究英国通货膨胀率时提出了ARCH模型，它成功地模拟了波动率的丛聚性和时变性，从而获得了空前的成功，以至于21年后，Engle因ARCH模型获得了诺贝尔经济学奖。波动率的大规模研究应该始自于Bollerselve［3］(1986)， GARCH模型的提出一方面更好地解释了波动率的持续性，弥补了ARCH模型的不足，另一方面为后续模型的提出提供了一个良好的基础。毫无疑问，GARCH模型意义深远，以至于直到今天，GARCH(1，1)模型仍是GARCH类模型中应用最为广泛的一个。在随后的发展中，又有许多新的方法出现，如Taylor(1986)提出了随机波动(Stochastic Volatility)模型，以及度量波动率的一些非参数方法，如收益绝对值、收益极差等。

众多波动率度量方法的盛行必然会带来一个问题，哪种度量方法度量得最精确?这就涉及到对各种波动率度量方法和度量效果的一个评价，但评价标准是什么，也即真实的波动率是什么?事实上，真实的波动率本身又是无法观察到的，这就使该问题的解决陷入一个尴尬的境地。

Merton［4］(1980)指出:在样本频率充分大的条件下，通过加总高频平方变量的值，一个独立同分布随机变量的方差(在一个固定期限内)，可以被估计得充分精确。Merton(1980)、French，Schwert，Stambaugh［5］(1987)等用日收益数据来估计股票月波动率，实际波动率(Realized Volatility)被正式提出。经过十多年的发展，实际波动率理论也渐趋完善。它的出现，使得真实波动率成为可观测的变量，从而使得上述问题的解决有了方向。它完全地打破了传统的波动率研究思路，彻底地颠覆了传统的波动率度量方法，成为引领波动率研究的一个崭新的亮点和新的方向。

在众多的研究中，最具代表性的当属Andersen等人的一系列研究，如Andersen，Bollerslev［6］(1998)，Andersen，Bollerslev，Diebold，Labys［7－10］(1999，2000，2001，2003，后简称ABDL)，Andersen，Bollerslev，Diebold，Ebens［11］(2001，后简称ABDE)，Andersen，Bollerslev，Diebold［12］(2002)。其它的研究如:Schwert(1998)，Ebens［13］(2000)，Oomen［14］(2001)，Bandi［15］(2003)等等。

实际波动率在国内还属于新兴事物，对它的认识才刚刚开始，对它的研究可谓凤毛麟角。黄后川［16］(2003)利用A、B股指数对实际波动率进行了较为系统的研究。施红俊等［17］(2003)对实际波动率理论和实证进行过一个综述。

本文的目的在于揭开实际波动率的面纱，对上述实际波动率及其相关变量的性质进行实证研究，让人们对它有一个更加清晰的认识，从而可以利用它为投资服务。

二、理论背景、算法及已有结论

实际波动率的理论背景主要是基于收益分解和二次变动理论。

假定N×1对数价格向量Pt，遵循如下多变量连续时间随机波动扩散模型:

Wt表示N维布朗运动过程，Ωt为N×N维正定扩散矩阵，且严格平稳。条件于样本路径特征μt和Ωt下，在［t，t+h］上连续复合收益为:

它服从Gaussian分布:

借助于二次变动理论，可以得知，在△→0时，有:

则实际协方差矩阵可以表示为:

对于第j只股票，其实际方差可用矩阵对角线上的元素表示为:={Covt}j，j

对数标准差表示为:lvj，t=log(Vj，t);我们把第i只股票和第j只股票的相关系数表示为:Corri，j，t={Covt}i，j/Vi，t·Vj，t

国外的文献在大量实证研究的基础上，得出的一些基本的结论有:

①ri，t/Vi，t的分布接近于正态;即:日收益序列经日实际波动率标准化后的序列近于正态分布。

③Covi，j，t显著右偏，但Corri，j，t却接近于正态分布;即:第i只股票与第j只股票的实际协方差所构成的序列的分布显著右偏，但它们之间的实际相关系数所构成的序列的分布却近于正态。

④lVj，t和Corri，j，t具有长记忆性;即:对数实际波动率序列和实际相关系数序列具有长记忆性特征。

⑤LogVi，t和logVj，t具有显著的相关性。即:任两只股票的对数波动率之间具有显著的相关性。

三、实证及分析

(一)样本说明

由于实际波动率要求样本有尽可能好的流动性，故本文以上证180样本股为总样本，根据实证的需要，从中随机抽取30只，股票代码及名称见表1。实际波动率要求样本有尽可能高的频率，本文采用日内分钟交易数据，时间跨度为2008年1月7日至2009年12月31日。数据来源于润金数据库。以下实证结果在SAS8.2上实现。

表1 样本股基本信息

表2 收益率和标准化收益序列的描述性统计值(30只样本)

(二)实证结果及分析

1.收益和标准化收益

表2展示了30只样本的收益率序列及标准化收益序列分布的描述性统计特征。

从表2可以看出，收益序列表现出明显的尖峰状态，30个样本中最小的峰度值为4.99，平均峰度值为7.64;并且表现出明显的右偏趋势，偏度的中位数为0.47，均值为0.53。而对于标准化收益序列，其峰度和偏度的分布则完全不同。其峰度值分布在3左右，30个样本中最小的峰度值为2.36，最大的为4.75，中位数为2.72，较之收益序列的峰度下降了很多;它的偏度的均值为 －0.059，比较接近于0。从最右列的正态性检验的P值可以看出，30只样本中有75%以上的样本在1%显著水平下不拒绝正态分布(在5%水平下，有22个不拒绝正态分布，在1%水平下，有26个不拒绝)，这与GARCH模型中的标准化残差的尖峰分布形成了鲜明的对比，Bollerslev，Engle，Nelson(1994)对此进行了一般的讨论。图 1为600085(从30只样本中随机抽取)的标准化收益序列的核密度图。

图1 标准化收益序列的核密度图

图2 实际相关系数序列的核密度图

2.方差和对数实际波动率

下面给出了实际方差、实际波动率及对数实际波动率分布的描述性统计量。

可以看出，实际方差的分布呈显著的右偏，实际波动率的右偏趋势有所减弱，偏度的中位数从7.24减到了2.69，说明实际波动率有接近于对称分布的趋势;再看对数实际波动率的偏度，虽然还是呈右偏的趋势，但其程度却大大减小，其偏度的中位数为0.52。峰度的变化趋势则更为明显，从实际方差到对数实际波动率，峰度的中位数从73.95减到了3.67。对30个样本的对数实际波动率序列进行正态性检验，在5%水平下，有7只不拒绝正态分布，在1%水平下，有9只不拒绝。由此可以发现，虽然不能说对数实际波动率呈现出了正态分布，但它确实在向正态分布靠近。图3、图4为样本600085实际波动率及对数实际波动率的核密度图。

上面的实证结果与ABDE(2001)的实证结论是一致的。关于对数实际波动率的分布近于正态的结论可以在 Taylor(1986)，French，Schwert，Stambaugh(1987)的研究中找到原形，他们用日收益数来计算月实际波动率，发现月实际波动率的对数呈现出近于正态的分布。

以上的研究是基于单变量的收益和波动率的研究，然而在资产定价、组合选择以及风险管理中无一不涉及到多变量的情形。因此下面进一步研究变量之间的实际协方差和相关系数的分布特征。

表3 实际方差和实际波动率分布的描述性统计统计量

表4 对数实际波动率分布的描述性统计量

3.协方差和相关系数

实际协方差是计算30个样本中每一个样本序列与其它29个样本序列的实际协方差，计算的样本频率为5分钟，共得435个序列。由于30个样本不可能在所取的时间段上均有交易，因此，在计算的过程中笔者剔除了那些非共有的交易时段。

由表5可以看出，实际协方差呈显著的右偏尖峰状态，相关系数则呈轻微的右偏趋势。其偏度的中位数为0.019，峰度的中位数为3.15。对它进行正态性检验，在5%显著水平下，有382个序列不拒绝正态分布，在1%水平下，有416个不拒绝。表明相关系数序列比较接近于正态分布。图2为样本600085与样本600000的实际相关系数的核密度图。

4.相关性研究

下面对实际波动率、对数实际波动率及相关系数的相关性进行研究。为了更深入地研究实际波动率序列的相关性特点，首先对序列进行L－B Portmanteau检验，表6为30个样本进行各项检验后的百分位数值，从第三栏可以看出，其直到24阶的自相关函数值均高度显著，表明序列存在显著的自相关现象。仍以600085为例，图5为它的实际波动率序列图，从图中可以看出，波动率呈现出明显的丛聚性和相关性，这与ARCH类模型所刻画的波动率现象是一致的。但其自相关函数衰减较快(图6，至10阶左右后变得不显著);接着对序列进行单位根检验，表6的第五栏反应了ADF检验相应的P值，可以看出检验结果均高度显著，均拒绝单位根假定，说明序列均为平稳序列。最后对它们进行R/S分析，表6最末一栏为样本各序列R/S分析的结果，d的中位数为0.34，表明了原序列均存在显著的长记忆特征。

表5 协方差和相关系数的描述性统计特征

表6 实际波动率相关性检验统计量

表7为对数实际波动率各项检验的百分位数值，从中可以看出，所有样本自相关函数的24阶Q统计量均高度显著。对样本进行ADF检验，其检验值也高度显著，表明对数实际波动率样本序列均为平稳序列。表7最右列给出了对30个样本序列进行R/S分析的d值。可以看出，所有的样本均具有显著的长记忆特征。

表7 对数实际波动率相关性检验统计量

样本600085的对数实际波动率值见图7，它同样表现出了波动率的丛聚性和相关性。它的样本自相关图见图8。虽然它并没有表现出缓慢的双曲衰减模式，但直至10阶左右时，它进入95%置信区间内。

表8概括了30个样本的435个相关系数序列的自相关检验值、单位根检验值以及长记忆检验值。从中可以看出，90%以上的相关系数的Q统计量高度显著，ADF检验值全部显著，R/S分析的结果也表明相关系数具有显著的长记忆特征。

表8 相关系数相关性检验统计量

从以上实证研究可以得出:实际波动率序列、对数实际波动率序列、相关系数序列的自相关函数均具有较为缓慢的衰减模式;且均为平稳序列;均具有显著的长记忆特征。下面对不同股票的对数实际波动率的相关性进行研究，表9为实证结果。

表9 对数实际波动率的相关系数的描述性统计特征

从上表可以看出，相关系数的中位数为0.43，表明各样本的波动率序列具有同向运动(comovement)的趋势，并且这种趋势较为强烈。ABDE(2001)也得出了类似的结论，并用波动率的因子结构作了解释。

四、结论

通过以上实证研究，本文可以得出以下结论:

1.经实际波动率标准化的收益率序列接近于正态分布;2.对数实际波动率序列的分布接近于正态;3.实际相关系数序列接近于正态分布;4.实际波动率序列、对数实际波动率及相关系数序列均具有显著的长记忆特征;5.不同股票的对数波动率序列之间具有显著的相关性。

可以发现，这与第二节提到的国外文献研究的结论是一致的。由此我们可以得出，实际波动率是一种理论，它并不局限于某个特定市场，我们研究它、认识它、了解它，从而可以利用它，为我们进行组合选择、风险管理服务。随着人们对实际波动率理论认识的深入，该理论的巨大应用价值一定会更加凸显。

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