Weibull分布恒加试验的Bayes推断

2011-01-23汤银才

通化师范学院学报 2011年6期

武东,张青,汤银才

(1.安徽农业大学理学院,安徽合肥 230036;2.华东师范大学金融与统计学院,上海 200241)

1 引言

随着科技的发展和用户对产品质量的要求越来越高，高可靠长寿命的产品越来越多，通常的截尾试验不能满足要求，而加速寿命试验有助于缩短试验时间，常用的加速寿命试验有：恒定应力加速寿命试验(简称恒加试验)、步进应力加速寿命试验和序进应力加速寿命等.文[1-5]对在CE模型下Weibull分布场合恒加试验进行了统计分析，但上述文献均没考虑到产品在正常应力水平下的先验信息.本文讨论了CE模型下定数截尾情形Weibull分布场合恒加试验的Bayes分析，对后验分布参数进行了重参数化, 并结合自适应舍选抽样算法和Gibbs抽样法对后验参数进行了Bayes估计.最后，利用蒙特卡罗方法对定数截尾情形Weibull分布场合恒加试验的Bayes估计进行了仿真，通过仿真得到该估计是有效而实用的.

2 基本假定与试验安排

假设1 在正常应力水平S0和加速应力水平S0

(1)

其中ηi,i=0,1,…,k称为应力水平Si下的特征寿命.

假设2 在各种应力水平下，产品的失效机理相同，即m0=m1=…=mk=m.

假设3 产品的特征寿命ηi与加速应力水平Si满足下列加速模型，即

(2)

其中a,b为参数，φ(Si)是应力水平Si的已知减函数.

在加速应力水平Si下取ni个产品进行定数截尾恒加试验，设在应力Si下的失效时间为

(3)

其中ri为预先给定的中止试验的样本数.

3 Bayes估计

由加速方程知

ηi=η0exp{-b[φ(S0)-φ(Si)]}=η0θ-φi，

于是得到样本的似然函数为

根据工程经验得到加速系数θ的取值范围为1≤k1<θ

(4)

产品在S0下, 取ηm的自然共轭分布为逆Gamma分布, 其概率密度为

(5)

其中η>0,a>0,b>0,a和b为超参数.

通常情况下依据历史数据或专家的经验可以确定形状参数m是小于1(对应的失效率单调递减)还是大于1(对应于失效率单调递增).因此若已知m∈(0,1)中，则取b的先验分布为Beta分布, 若已知m∈(1,+∞) 则取m-1的先验分布为Gamma分布.记m的先验分布为π(m)[7].至此，得到m,η,θ的联合后验密度为

(6)

为了计算方便，对参数进行重参数化，作变换

其Jacobi行列式为

则得到λ,μ,m的联合密度为

(7)

下面利用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法的Gibbs抽样来获得参数λ,μ,m的后验分布及Bayes估计. 由(7)知，λ的边际后验分布为

(8)

μ的边际后验分布为

(9)

m的边际后验分布为

(10)

只要有失效数据, 即r≥1，从而有

容易验证μ和m的边际后验分布均为对数上凸函数，因此μ和m的抽样可按自适应舍选抽样法[7,8]获得.

Weibull分布场合恒加试验的Bayes估计可按以下步骤进行：

(1)假设起始点为(λ(0),μ(0),m(0))；

(2)从边际后验分布π(λ|μ(i-1),m(i-1))抽取λ(i);

(3)从边际后验分布π(μ|λ(i),m(i-1))抽取μ(i);

(4)从边际后验分布π(m|λ(i),μ(i))抽取m(i);

(5)令i=i+1,并返回到(2),直到达到给定终止迭代次数.

则(λ(i),μ(i),m(i),i=1,2,…,M1,M1+1,…,M)为参数(λ,μ,m)的一个Gibbs迭代样本.其中M1为Gibbs迭代抽样达到稳定状态之前舍弃的样本容量，M>M1为总的样本容量.于是λ,μ和m的Bayes估计可用舍弃后的M-M1个Gibbs抽样的样本均值获得，进而可以得到η,θ,和m的Bayes估计.