有限群的p-幂零性的一个判定定理

张新建

(淮阴师范学院 数学科学学院,江苏 淮安　223300)

0　引言

本文考虑的是有限群,G总是表示群,H◁G表示H是G的正规子群,其他符号和概念是标准的,可参见文献[1].

群G的子群H和T称为是可置换的,如果HT=TH.群G的子群H称为G的S-拟正规(或π-拟正规)子群[2],如果H与G的每个Sylow子群可置换;H称为G的S-拟正规嵌入子群[3],如果对每个整除H的素因子p,H的一个Sylowp-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylow p-子群.

一方面,在文献[4]中,作者利用群G的所有pm阶子群的S-拟正规嵌入性质研究群G的结构,得到了主要的定理:

定理A设p是G的阶的最小素因子,P是G的一个Sylowp-子群,则G是p-幂零群当且仅当存在P的子群D满足1<|D|<|P|使得P的所有阶为|D|或4(当|D|=2时)的子群在G中S-拟正规嵌入.

定理B设p为G的阶的奇素因子,P是G的一个Sylow p-子群,则G是p-幂零群当且仅当NG(P)是p-幂零群且存在P的子群D满足1<|D|<|P|使得P的所有阶为|D|的子群在G中S-拟正规嵌入.

另一方面,著名的Frobenius定理[1]断言:如果群G的所有的p-子群H的正规化子NG(H)是p-幂零群,那么G是p-幂零群.

在本文中,我们利用群G的所有pm阶子群H的正规化子的p-幂零性及H的S-拟正规嵌入性得到了群G的p-幂零性的一个判定定理:

定理2设p为G的阶的奇素因子,P是G的一个Sylow p-子群,则G是p-幂零群当且仅当且存在P的子群D满足1<|D|<|P|使得P的所有阶为|D|的子群H在G中S-拟正规嵌入且NG(H)是p-幂零群.

1　主要引理

引理1[2]假设U是G的S-拟正规嵌入子群,H是G的子群,N是G的正规子群.

(a) 如果U≤H,则U是H的S-拟正规嵌入子群.

引理2[1]G的S-拟正规子群在G中次正规.

引理3[5]设H是G的S-拟正规子群,P是H的Sylow p-子群,其中p是素数.如果HG=1,那么P是G的S-拟正规子群.

引理4[4]设N是G的初等交换正规子群.如果N有子群D满足1

引理5[6]假设p是素数,G是非p-幂零群但G的每个真子群是p-幂零群.则

(a)G有正规的Sylowp-子群P且G=PQ,其中Q是非正规的Sylowq-子群,q≠p.

(c)P的幂指数为p或4.

2　主要结论

定理1设P为群G的一个Sylowp-子群,其中p∈π(G).则G是p-幂零群当且仅当P的每个极大子群P1在G中S-拟正规嵌入且NG(P1)是p-幂零群.

证明如果G是p-幂零群,那么G=[Op′(G)]P.设H是P的任一极大子群.NG(H)的p-幂零性是显然的.由HOp′(G)◁POp′(G)=G可知H在G中S-拟正规嵌入.

反之,假设结论不正确,G为满足条件的极小阶反例,则有

1)p为奇素数.如果p=2,那么由文献[7]中定理3.1可得G是p-幂零群,矛盾.

则P1Op′(G)◁K,因此K=NK(P1)P1Op′(G)=NG(P1)Op′(G)≤K,这意味着

3) 设T是G的包含P的真子群,则T是p-幂零群.

设P1是P的任一极大子群.显然NT(P1)≤NG(P1).由假设,我们有NT(P1)是p-幂零群.又由引理1,P1在T中S-拟正规嵌入.因此T满足定理的假设,由G的极小性选择可得T是p-幂零群.

5) |P|=|N|=p,最后的矛盾.

由4),Φ(G)=1,于是G有极大子群M使得G=MN且M∩N=1.显然,P=N(P∩M).因为P∩M

因此反例不存在,结论得证.

定理2设p为群G的阶的奇素因子,P是G的一个Sylow p-子群,则G是p-幂零群当且仅当且存在P的子群D满足1<|D|<|P|使得P的所有阶为|D|的子群H在G中S-拟正规嵌入且NG(H)是p-幂零群.

证明若G是p-幂零群,则由定理1可知结论是成立的.反之,假设结论不正确,G为满足条件的极小阶反例.

1) 设T是包含P的G的真子群,则T是p-幂零群.

证明类似于定理1的证明中的3).

2) |P:D|>p且|D|>p.

3)Op(G)≠1.令N是包含在Op(G)中的G的极小正规子群,则|N|<|D|.

因为G是非p-幂零群,由(1)和Glauberman-Thompson定理,NG(Z(J(P)))是非p-幂零群,其中J(P)是P的Thompson子群.注意到Z(J(P))是P的特征子群,NG(P)≤NG(Z(J(P))).由3),我们有NG(Z(J(P)))=G,这意味着Op(G)≠1.如果|N|=|D|,那么由假设,G=NG(N)是p-幂零群,矛盾.假设|N|>|D|,因为N≤Op(G),N是初等交换群.由引理4,N有极大子群在G中正规,则由N的极小正规性可得|N|=p,从而|D|=1,矛盾于假设.因此|N|<|D|.

5) 得到结论.

参考文献：

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[4]Wei X B ,Guo X Y. On finite groups with prime-power order S-quasinormally embedded subgroups[J]. Monatsh Math,2011,162(3): 329-339.

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[10]Gorenstein D. Finite Groups[M],New York: Harper and Row,1968.