＊ 广义（h，φ）－不变凸多目标半无限规划的最优性条件

李向有，张庆祥

（延安大学 数学与计算机学院，陕西 延安 716000）

＊广义（h，φ）－不变凸多目标半无限规划的最优性条件

李向有，张庆祥

（延安大学 数学与计算机学院，陕西 延安 716000）

在（h，φ）凸函数的基础上，定义了一类（h，φ）－ρ不变凸函数，研究了涉及此类函数的多目标半无限规划，在更弱的凸性下，得到了一些最优性条件.

（h，φ）－ρ不变凸函数；半无限规划；最优性

广义（h，φ）凸规划是非凸最优化的一个分支，近年来，许多学者在这方面进行了研究，得到了不少有益的成果.如王香柯［1］利用Ben－Tal广义代数运算，在非光滑情形下提出了若干类广义（h，φ）凸函数的概念，得到了一类非凸规划的最优性条件，张庆祥［2］利用Ben－Tal广义代数运算，提出了（h，φ）伪凸、（h，φ）拟凸函数，研究了非光滑（h，φ）半无限规划解的充分性和对偶性，徐义红、刘三阳［3］利用Ben－Tal广义代数运算，研究了（h，φ）广义凸函数的若干性质，得到了（h，φ）广义凸多目标规划的最优性和对偶性条件，盛宝怀，李银兴，刘三阳［4］定义了（h，φ）广义切导数并研究了相应规划的最优性条件，王荣波、张庆祥、冯强［5］研究了一类广义一致凸多目标规划的对偶性条件，梁治安、张振华［6］讨论了一致不变凸多目标规划的最优性条件.

本文在上述文章的基础上，利用Ben－Tal广义代数运算，定义了一类（h，φ）－ρ不变凸函数，得到了一类非光滑（h，φ）多目标半无限规划的最优性条件，在更弱的凸性下，对已有结果进行了推广.

1 广义（h，φ）不变凸函数的定义

我们先引入Ben－Tal广义代数运算［7］：

（i）设h为H⊂Rn上的n维向量连续函数，它具有反函数h－1，对于x∈H和y∈H，定义h－向量加法为

对于x∈H和λ∈R，定义h－数乘

（ii）设φ是Φ⊂Rn上的连续实值函数，它具有反函数φ－1，则两个数α∈Φ和β∈Φ的φ－加法定义为

对于α∈Φ，λ∈R，φ－数乘定义为

（iii）对于向量x∈H和y∈H，（h，φ）－内积定义为

（iv）h－向量减法，φ－减法由（i），（ii）知，可以分别表述为

我们记

为f（x）在x处沿方向d的广义（h，φ）方向导数.设f（x）是Rn上的Lipschitz函数，

∂＊f（x）＝｛ξ：f＊（x；d）≥（ξTd）h，φ，∀d∈Rn｝，称ξ∈∂＊f（x）为f（x）在x点的广义（h，φ）梯度，∂＊f（x）称为f（x）在x点的广义（h，φ）梯度集［1］.

定义1 设f∶Rn→R是Lipschitz函数，η：Rn×Rn→Rn为向量函数，称f为（h，φ）－ρ不变凸的，如果对于∀x1，x2∈Rn，∀ξ∈∂＊f（x2），ρ∈R，θ：Rn×Rn→Rn有

f（x1）［－］f（x2）≥ （ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖.

定义2设f：Rn→R是Lipschitz函数，η：Rn×Rn→Rn为向量函数，称f为（h，φ）－ρ不变伪凸的，如果对于∀x1，x2∈Rn，∀ξ∈∂＊f（x2），ρ∈R，θ∶Rn×Rn→Rn有

f（x1）［－］f（x2）＜0⇒（ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖ ＜0.

定义3 设f∶Rn→R是Lipschitz函数，η：Rn×Rn→Rn为向量函数，称f为（h，φ）－ρ严格不变伪凸的，如果对于∀x1，x2∈Rn，∀ξ∈∂＊f（x2），ρ∈R，θ：Rn×Rn→Rn有f（x1）［－］f（x2）≤0⇒（ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖＜0.

定义4 设f∶Rn→R是Lipschitz函数，η：Rn×Rn→Rn为向量函数，称f为（h，φ）－ρ不变拟凸的，如果对于∀x1，x2∈Rn，∀ξ∈∂＊f（x2），ρ∈R，θ：Rn×Rn→Rn有

f（x1）［－］f（x2）≤0⇒（ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖ ≤0.

在上述定义中令η（x1，x2）＝x1Θx2，ρ＝0，则其就为［2］中（h，φ）凸函数，所以本文定义的（h，φ）－ρ不变凸函数，是更广义的一类凸函数.

定义5 可行解x0称为（h，φ）有效解，若不存在其他可行解x，使得由定义显然可得有效解一定为（h，φ）有效解，反之不一定成立.只要令φ（a）＝ka（k≠0）即可.

设f（x）是Rn上的Lipschitz函数，对于∀x，d∈Rn，称

2 最优性充分条件

这里f i（i＝1，…，p）为局部Lipschitz的实值函数，Y为无限可数参数集.记（P）的可行集X＝｛x｜g（x，u）≤0，x∈X0⊆Rn，u∈Y⊂Rn｝，Δ＝｛i｜g（x，ui）≤0，ui∈Y⊂Rm｝是可数指标集，Λ＝｛vj｜vj≥0，j∈Δ｝.以下假定出现的所有各式均有意义.

引理1 设φ是R上的严格单调函数，对每个给定的λ≥0，相应于minλΤf（x）的最优解必是（VP）的（h，φ）有效解.

引理2［3］设φ是R上的严格单调函数，φ（0）＝0，h（0）＝0，对任意x，y，w∈Rn，若x⊕y＝0，（xΤw）h，φ≤0，则（yΤw）h，φ≥0.

考虑下列多目标半无限规划问题（VP）

［1］ 王香柯.一类（h，φ）意义下非光滑解得充分条件［J］.青岛大学学报，1996，11（1）：51－57.

［2］ 张庆祥.非光滑（h，φ）半无限规划解的充分性和对偶性［J］.应用数学学报，2001，24（1）：129－138.

［3］ 徐义红，刘三阳.（h，φ）不变广义凸函数的若干性质与（h，φ）不变广义凸多目标规划的最优性及对偶性［J］.应用数学学报，2003，26（4）：727－736.

［4］ 盛宝怀，李银兴，刘三阳.（h，φ）广义切导数与最优性条件［J］.应用数学学报，2007，30（4）：592－603.

［5］ 王荣波，张庆祥，冯强.广义一致Bρ－（p，r）不变凸多目标规划问题的 Mond－Weir型对偶［J］.山西大学学报：自然科学版，2010，33（2）：177－181.

［6］ 梁治安，张振华.一致不变凸多目标规划的最优性条件和对偶性［J］.运筹学学报，2009，13（1）：44－50.

［7］ Avriel M.Nonlinear Programming：Analysis and Methods［M］.New Jersey：Prentice－Hall，Englewood Cliffs，1976.

Optimality Condition of Multiple－objective Semi－Infinite Programming with Generalized（h，φ）Invex Function

LI Xiang－you，ZHANG Qing－xiang
（InstituteofMathematicsandComputerScience，Yan’anUniversity，Yan’an716000，China）

Based on （h，φ）convex function，the class of（h，φ）－ρinvex function was defined，optimality of multiple－objective semi－Infinite programming involving this kind of function was researched，and many important conclusions were obtained under weker convexity.

（h，φ）－ρinvex function；semi－infinite programming；optimality

O221.6

A

0253－2395（2011）04－0539－04＊

2010－05－10；

2010－12－10

国家自然科学基金（60873099）；延安大学科研基金（YDK2004－196）

李向有（1976－），男，陕西延安人，硕士，讲师，研究领域为最优化理论及应用.