＊非均匀非线性波导中暗孤子条在抛物面背景中的传输特性

赵福君,李禄

(山西大学理论物理研究所,山西太原 030006)

＊非均匀非线性波导中暗孤子条在抛物面背景中的传输特性

赵福君,李禄

(山西大学理论物理研究所,山西太原 030006)

研究非线性自散焦介质中暗孤子条在抛物面背景中的传输特性.结果显示:基态暗孤子条能够在抛物面背景中自相似地演化,而高阶暗孤子条则在自相似演化中会分裂出成对的灰孤子.

变系数非线性薛定谔方程;暗孤子条

自相似普遍存在于自然界中,其特性在物理学及其他学科中都有着广泛的研究和应用,比如,非线性光学、流体动力学、凝聚态物理、等离子体物理、量子场论和生物物理学等领域[1].在非线性介质中,自相似光波是指光波在传输过程中波形保持不变,其振幅和宽度成比例的变化,它是由非线性薛定谔(NLS)方程来精确描述的.本文主要研究以稳定的抛物型光束为背景的暗孤子条的动力学特性.

1 理论模型与方法

我们考虑了下面的非线性薛定谔方程

其中W(Z)代表光束的宽度,它是Z的实函数,用来描述光束的自相似演化,而函数θ(X,Y,Z)=A(Z)(X2+Y2)用来描述相位,其中A(Z)是相前曲率参数.将方程(3)-(4)代入到方程(2),并要求

其中K是任意常数,于是方程(2)就被约化成一个含有谐振势能项的方程

需要指出,方程(2)和(8)的不同之处在于后者拥有不依赖于Z的非线性项和谐振势.这样,在可积条件(9)下,我们能够通过求解方程(8)并借助条件(5)-(7)来获取方程(2)的解的信息.

考虑方程(8)的一个局部定态解Φ(η,ξ1,ξ2)=Ψ(ξ1,ξ2)exp(-iβη),其中β是传播常数,Ψ(ξ1,ξ2)是实函数.这样方程(8)可以写成下面的形式

其中a,Z1是任意常数.

作为一个例子,我们考虑如下系统[3-4]

该系统可以用来研究孤子对非线性势阱或势垒的非线性遂穿,其中-1＜h＜0表示非线性势阱,h＞0表示非线性势垒[5-6].参数h,δ,Z0分别对应着井或垒的高度、宽度和纵向位置.此时可积性条件(9)要求增益/损耗函数具有如下形式

2 数值结果与分析

首先考虑抛物光束的传输情况(这里只考虑h＞0的情况).图1给出抛物光束在不同距离处的光强的分布图.从图中可以看到,抛物光束按照方程(12)自相似地通过非线性势垒.同样地,抛物光束也能自相似地通过非线性势阱(-1＜h＜0).图2给出了总功率和峰值的演化图,从中可以看到总能量和峰值在Z=Z0处的自相似演化特性.

图1 抛物型光束通过非线性垒时的演化图,(a)Z=0;(b);Z=5;(c)Z=10;(d)Z=15;(e)Z=20;(f)Z=25,其中各参数分别为 h=0.5,δ=3,Z0=5,β=10,a=0.1,Z1=5.Fig.1 Evolution p lo ts of the paraboloidal beam through nonlinear barrier,(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,(d)Z=15,(e)Z=20,and(f)Z=25,w here the parameters are h=0.5,δ=3,Z0=5,β=10,a=0.1,and Z1=5,respectively.

图2 (a)总能量和(b)峰值功率随 Z的演化,参数同图1Fig.2 Evolution p lots of(a)the total energy and(b)the peak power w ith Z,and the parameters are the same as in Fig.1

其中N代表孤子的阶数.图3和图4(P79)分别给出了基态暗孤子条和二阶暗孤子条在不同距离处光强的分布图.从图中可以看出,基态暗孤子条可以在抛物背景中稳定的传输,而二阶暗孤子条在演化过程中分裂出一对灰孤子条(见图4(b)-4(d)).

最后我们讨论了暗孤子条之间的相互作用,正如图5(P79)和图6(P80)所示.从图5我们看到,相互平行的暗孤子条在一定的距离内的相互作用近似于弹性碰撞.从图6我们看到,相互垂直的暗孤子条之间的相互作用比较复杂,但仍能以对称分布的样式呈现在抛物背景上.

下面我们研究暗孤子条的动力学行为.我们引入下面的函数作为初始入射脉冲

图3 基态暗孤子条的动力学演化图,(a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=15;(e)Z=20;(f)Z=25,其中各参数同图1.Fig.3 Evolution p lots of the fundamental dark soliton stripe,(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,(d)Z=15,(e)Z=20,and(f)Z=25,w here the parameters are the same as in Fig.1

图4 高阶(N=2)暗孤子条的动力学演化图,(a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=15,其中各参数同图1.Fig.4 Evolution p lots of the high-order dark soliton stripe(N=2),(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,and(d)Z=15,w here the parameters are the same as in Fig.1

图5 两个和三个相互平行暗孤子条的动力学演化图,初始分离值为3.第一行是两个暗孤子条的演化图 (a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=25;第二行是三个暗孤子条的演化图(e)Z=0;(f)Z=5;(g)Z=10;(h)Z=25,其中各参数同图1Fig.5 Dynamics evolution p lots of the two and three parallel dark soliton stripes with the initial separation 3.Here the first row corresponds to the evolution of two parallel dark soliton stripes with(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,and(d)Z=25,and the second row is the evolution of three parallel dark soliton stripes with(e)Z=0,(f)Z=5,(g)Z=10,(h)Z=25,w here the parameters are the same as in Fig.1

图6 两个相互垂直和四个相互交叉暗孤子条的动力学演化图,初始分离值为3.第一行是两个相互垂直的暗孤子条的演化图(a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=25,第二行是四个相互交叉暗孤子条的演化图(e)Z=0;(f)Z=5;(g)Z=10;(h)Z=25,其中各参数同图1.Fig.6 Dynamics evolution plots of the two and four cross dark soliton stripes with the initial separation 3.Here the first row corresponds to the evolution of two cross dark soliton stripes with(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,(d)Z=25,and the second row is the evolution of four crossdark soliton stripes with(e)Z=0,(f)Z=5,(g)Z=10,(h)Z=25,w here the parameters are the same as in Fig.1

3 结论

我们以非线性自聚焦(自散焦)效应的光波传输方程为模型,并通过合适的变量代换,将该方程变换为常系数非线性薛定谔方程,在此基础上研究抛物光束以及暗孤子条的自相似演化.研究显示:抛物光束和暗孤子能稳定地传输,而高阶暗孤子条在演化过程中会分裂出成对灰孤子条.此外,我们还研究了多个暗孤子条同时存在的情况,研究发现在有相互作用的情况下暗孤子条仍能够稳定的传输.由于暗孤子条的稳定传输,这一结果将有可能为全光控制和全光开关提供一定的理论指导.

[1] Barenblatt G I.Scaling,Self-Similarity and Intermediate Asymtotics[M].England:Cambridge University Press,1996.

[2] Zhao Xue-song,Li Lu,Xu Zhi-yong.Dark-soliton Stripes on a Paraboloidal Background in a Bulk Nonlinear M edium[J].Phys Rev A,2009,79:043827.

[3] Serkin V N,Belaeva T L.High-Energy optical Schrödinger Soliton[J].JETP Lett,2001,74:573.

[4] Yang G Y,Hao R Y,Li L,Li Z H,Zhou GS.Cascade Compression Induced by Nonlinear Barriers in Propagation of Optical Solitons[J].Op t Comm un,2006,260:282.

[5] Newell A C.Nonlinear tunneling[J].J Math Phys,1978,19:1126.

[6] Serkin V N,Chapela V M,Persino J,Belyaeva T L.Nonlinear Tunneling of Temporal and Spatial Optical Solitons Through Organic Thin Films and Polymeric Waveguides[J].Opt Commun,2001,192:237.

Transport Properties of Dark-soliton Stripe on a Paraboloidal Background in Inhomogeneous Nonlinear Waveguides

ZHAO Fu-jun,LILu
(Institute of Theoretical Physics,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We discuss transport properties of dark soliton stripes on a paraboloidal background in a bulk graded-index waveguide with self-defocusing nonlinearity.The results show that the fundamental dark soliton stripe can self-similarly evolve on the paraboloidal background,and the high-order dark soliton stripe can split into grey solitons in pairs in the self-similar evolution.

The nonlinear Schrödinger equation with variable coefficients;dark soliton stripe

O437

A

0253-2395(2011)01-0076-05＊

2010-08-30;

2010-09-29

国家自然科学基金(61078079)

赵福君(1982-),男,山西朔州人,硕士研究生,主要研究领域非线性光学.E-mail:zfjsxdx@163.com;通讯联系人:李禄