输油管线的最优设计方案
2011-01-05盛光进戴新建
盛光进 戴新建
（长沙民政职业技术学院，湖南 长沙 410004）
输油管线的最优设计方案
盛光进 戴新建
（长沙民政职业技术学院，湖南 长沙 410004）
文中针对炼油厂输油管铺设和火车站选址问题，考虑两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离不同的各种情形，以及共用管线与非共用管线费用相同或不同的情形，利用几何原理和二次规划理论，建立了5个非线性优化模型，通过对模型的求解，得到了各种情形下的输油管线最优设计方案．
管线铺设；多元非线性无约束优化模型；拉格朗日算法
1.问题1的模型建立与求解
针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同情形，在进行输油管道方案设计时，将铺设方案分为不使用共用管线和使用共用管线两种情形。
1.1 不铺设共用管线的情形
在不铺设共用管线的情形下，如图1所示，设在点建设火车站，、为铺设的输油管线。
图1
1.2 铺设共用管线的情形
在铺设共用管线的情形下，管线铺设线路情况如图2所示，其中O点表示新修的火车站，线段AG、BG表示非共用输油管线，线段GO表示共用输油管线。
图2
在总费用最小的目标约束下，线段GO与χ轴只能是垂直的。以C点为坐标原点，直线CO为χ轴，直线CA为y轴，建立平面直角坐标系。
如图 3，设 A点坐标为（0，a）、点坐标为（N，b）、G点坐标为（x，y）、O点坐标为（x，0），经计算，可得管道建设费用的最优化模型如下：
利用拉格朗日方法［1］［2］分别对（1.2）式的x和y求偏导，令其都等于零，并用Matlab［3］求解上述方程组，可得其平衡点为：
（Ⅰ）共用管线与非共用管线费用相同的情形由（1.3）式和（1.4）式，令 p1=p2，可知共用管线和非共用管线的交点G的坐标为：
（Ⅱ）共用管线与非共用管线费用不同的情形
2.问题2的模型建立与求解
问题2是问题1的扩展和应用，本问题不仅给出了问题1中各变量的具体数值，而且考虑了城区和郊区管线建设成本的不同，因此在问题1的基础上进一步深入研究。首先判定了问题2是否需要铺设共用管线，然后分为火车站建在郊区和建在城区两种情况展开讨论。
2.1 火车站建在郊区的情形
在火车站建在郊区的情形下，铺设输油管道的方案和火车站位置如图3所示，M点为新建的火车站，线段AF、BE、EF为非共用输油管线，线段FM为共用输油管线，F为两种管线的交点。建立平面直角坐标系，各点坐标如图3所示。由于所有管线的单位费用是相同的，假设为p，拆迁和工程补偿费用设为q，则AF、BE、EF三段管线的铺设单价为p，BE段管线的铺设单价为p+q，从而管线建设总费用最优化模型为：
图3
运用Matlab求解上述方程，可得的最小值。将以上的理论模型（2.1）应用到该具体工程中。由题目可知，a=5，b=8，c=15，l=20，p=7.2。对于拆迁和工程补偿费q的确定，将采用以下规则计算：首先，分别使用这三个不同的估价，计算出各自的最优方案，然后根据三家公司的资质不同，对三家公司赋不同的权重值，由此得到一个综合估计成本，再根据这个成本，得到问题2的最优车站建设和管线铺设设计方案。
对三家公司的估算结果分别赋以0.5、0.25、0.25的权重，由此得到综合估计成本：
此时，管线总费用优化模型为：
运 用 Matlab计 算 得 ：x=-9.5505，y=1.8537，z=7.3678，此时Sm=282.6973万元。
2.3 火车站建在城区的情形
如果将火车站建设在城区，铺设输油管道和修建火车站示意图如图4所示，M点为新建的火车站，AE、BF、EF为非共用输油管线，FM为共用输油管线，F为两种管线的结点。
同样地，以O为原点，以铁路线为x轴，以城乡分界线为y轴，建立平面直角坐标系。可得管线铺设的总费用优化模型为：
图4
并运用Matlab求解，利用综合估计成本qm=21.5，得管线铺设总费用优化模型为：
计 算 结 果 ：x=0.00000232，y=0.007687，z=0.007686，Sm=384.62万元。
3.问题3的模型建立与求解
问题3的最优方案设计也是分火车站建在城区和建在郊区两种情形来讨论。
3.1 火车站建在郊区的情形
将火车站建设在郊区时，与问题2的方案设计相同，如图4所示铺设输油管道和修建火车站，M点为新建的火车站，AE、BF、EF为非共用输油管线，FM为共用输油管线，F为两种管线的结点。
同样以O为原点，以铁路线为x轴，以城乡分界线为y轴，建立平面直角坐标系，各点坐标如图4所示。AE、BF、EF、FM四段管线的铺设单价分别为 pA、（pB+q）、pB、pAB，管线建设总费用优化模型为：
如同问题2一样，取q=21.5。将已知的值代入到（3.1）式中，得：
运用 Matlab计算得：x=-8.266，y=0.139，z=7.279，Sm=251.97万元。
此时，将火车站M建在离城乡分界线8.27千米处的郊区，在铁路线的垂线方向离火车站0.13千米处建立管线结点F，在城乡分界线上离铁路线7.27千米处建立管线结点E。AF、BE、EF铺设非共用输油管线，FM铺设共用输油管线，总费用为251.9685万元．
3.2 火车站建在城区的情形
将火车站建设在城区时，与问题2的方案设计是相同的。M点为新建的火车站，AF、BE、EF为非共用输油管线，FM为共用输油管线，F为两种管线的结点。以O为原点，以铁路线为x轴，以城乡分界线为y轴，建立平面直角坐标系。管线建设总费用优化模型：
城区管道铺设附加费用综合估计成本为：q=21.5，将已知的各变量的值代入管线建设总费用优化模型（3.2）式中，得：
经 计 算 得 ：x=0.0000052，y=0.00777，z=0.00776，Sm=348.0064（万元）。
我们把火车站建在城区内时，最优的建设方案是，火车站的位置非常靠近原点，而且最优方案的总费用要比车站建在郊区的最优方案成本高，这说明，在本问题中，将火车站建在城区内是不可取的．综合比较得：火车站应建在郊区。
［1］盛祥耀,陈魁王,飞燕.大学数学简明教程［M］.清华大学出版社,2005.72-95.
［2］ 梁国业,廖健平.数学建模 ［M］,冶金工业出版社,2004.223-226..
［3］Durance Hanselman,Bruce Littlefield,朱仁峰译.精通Matlab7［M］,清华大学出版社,2006.286-294.
［4］国家发展和改革委员会,工程咨询单位资格认定办法［EB/OL］.http://www.sdpc.gov.cn/zcfb/zcfbl/zcfbl2005/t20050602_6090.htm,2005-03-04/2010-09-12.
O141.4 < class="emphasis_bold">［文章标识码］ A
A
1671-5136（2011） 03-0121-03
2011-08-26
盛光进（1957—），男，湖南汉寿人，长沙民政职业技术学院传播学院副教授。研究方向：高等数学教育和数学模型。
