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基于李群李对称方法求解一类偏微分方程

2011-01-05张晓莉赵小山

关键词:李群生成元约化

张晓莉,赵小山

(天津职业技术师范大学 理学院,天津 300222)

基于李群李对称方法求解一类偏微分方程

张晓莉,赵小山

(天津职业技术师范大学 理学院,天津 300222)

基于李群李对称方法求解一类偏微分方程,得到方程的对称约化和精确解及幂级数解等.

李对称分析;幂级数;精确解;相似约化

自然科学领域中存在大量的线性与非线性问题,而其中许多问题最终可用偏微分方程来描述,因此如何求解偏微分方程一直是数学家和物理学家研究的重要课题,Bucklund法[1]、齐次平衡法[2]、Painleve展开法[3]、Jacobi椭圆函数展开法[4-5]、F展开法[6-7]、双曲正切函数展开法[8]、变换迭代法[9]都是比较成熟的求解方法.其中对称理论在数学、物理学、化学等领域起着十分重要的作用.文献[10]对齐次平衡法进行改进,提出了一个新的相似约化法,该方法等价于直接约化法[11].本研究利用李群方法[12-13]求解一类偏微分方程,李群方法是研究偏微分方程的有力工具之一,应用李群可得到方程的不变群和约化方程.

考虑一类偏微分方程[14]

其中,λ>0,μ,γ和r是常数.该偏微分方程具有充分大量的对称群,这类偏微分方程在金融数学及其他领域具有广泛应用.文献[15]得到了方程的李对称积分变换的精确解.本研究利用李对称分析,考虑γ=

本研究所得的一些新的精确解,如幂函数解等是对文献[15]的补充.

1 李群李对称方法的思想

开集M上的向量场,则其第n阶延拓是定义于M(n)的向量场

第二步:利用Maple求出方程(2)的所有生成元(向量场),运用兼容性分别对生成元讨论方程(2)的相似约化和不变量,求出相应的约化方程.

第三步:利用其他方法对约化方程进行求解.这样便利用所求出的生成元得到了变系数偏微分方程的精确解.

2 偏微分方程的李对称分析

3 对称约化和精确解

4 结论

采用李群李对称方法求出了一类偏微分方程的对称,得到了方程的相似约化,并求出了方程的一些新的精确解.

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Solving a kind of partial differential equations by Lie group Lie symmetry

ZHANG Xiaoli,ZHAO Xiaoshan

(School of Science,Tianjin University of Technology and Education,Tianjin 300222,China)

A kind of nonlinear partial differential equations is solved by the Lie symmetry analysis and group classifications.As a result the symmetry reduction and some new exact solutions have been obtained,including the power series solution and so on.

Lie symmetry analysis;power series method;exact solution;similarityreductions

O175.2

A

1671-1114(2011)04-0020-03

2010-11-09

天津市自然科学基金资助项目(08JCYBJC12100)

张晓莉(1983—),女,硕士研究生.

赵小山(1968—),男,副教授,博士,主要从事非线性动力系统稳定性分析及应用统计方面的研究.

(责任编校 马新光)

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