实数考点例析

　　实数的主要内容包括平方根、立方根的概念和性质以及实数的有关概念和运算。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在初中数学中占有重要的地位。下面就实数的主要知识点以2010年数学中考题为例进行解析。
　　
　　一、平方根、算术平方根的概念和性质
　　例1 （山东省滨州市)4的算术平方根是（）。
　　A．±2B．±4C．2D．4
　　解析 因为4的平方根是±2，所以4的算术平方根是2，即=2，故选C。
　　点评 一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为“”，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
　　例2 （福建省泉州市）9的平方根是（）。
　　A.±B.C. ±3 D. 3
　　解析利用平方根的意义求解，因为(±3)2＝9，所以9的平方根是±3，故应选C。
　　点评 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
　　二、立方根的概念和性质
　　例3 （内蒙古自治区包头市）27的立方根是（）。
　　A．3B．-3C．9D．-9
　　解析 利用立方根的意义求解，因为33=27，所以27的立方根是3，应选A。
　　点评 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
　　三、无理数的概念
　　例4 （广西桂林市）在实数5、、、中，无理数是（）。
　　A．5B．C． D．
　　解析 因为5是整数，是分数，它们都是有理数，=2，显然也是有理数，只有是开方开不尽的数，是无限不循环小数，因而是无理数，故选C。
　　点评 无限不循环小数称为无理数，无理数不能用分数的形式来表示。除了要明确有理数和无理数的概念外，还要注意像这样的数，虽然它们带了根号，但可以开方化简，还是有理qbP8oSlC0bIrLm0dyI9RUrXphe0LhMY73JbC+NVQDQs=数。
　　四、的非负性的应用
　　例5 （湖北省荆门市）化简+=__________。
　　解析 因为只有非负数才有算术平方根，所以1-x≥0，x-1≥0。解得x=1，所以原式=+=0+0=0。
　　点评 求一个数的算术平方根，要注意数的范围，只有非负数才有算术平方根，这是本章的重点与难点，在确定运算类别的前提下，一要注意参与运算的数的取值范围，二要注意运算结果的取值范围。
　　五、实数的估算
　　例6 （山西省）估算－2的值（）。
　　A．在1和2之间B．在2和3之间
　　C．在3和4之间 D．在4和5之间
　　解析 本题可采用夹逼的方法求解，因为52＜31＜62，即5＜＜6，所以3＜-2＜4，故选C。
　　点评 在实际问题中，要经常用到估算，培养同学们的估算能力已成为数学教育的重要目标之一。
　　例7（陕西省）在1，-2，-，0，π五个数中最小的数是______。
　　解析 因为1＜3＜4，所以1＜＜2，则-2＜-＜-1，π≈3.14，负数小于一切正数，所以-2最小。
　　点评 比较两个数的大小，可以采用平方法，即比较它们平方的大小，也可采用估算法，先估计出无理数的近似值，再利用有理数大小的比较方法进行比较。